1. Колебания гармонические, затухающие (записать уравнения для механических и электрических колебаний). Привести схемы.

А) Гармонические колебания – колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону Sin или Cos.

Гармонические колебания величины S(t) описываются уравнениями типа или , где А – максимальное значение колеблющейся величины, называется амплитудой колебаний, ω₀ – круговая (циклическая) частота, – фаза колебаний в момент времени t.

Период – время, за которое система возвращается в исходное состояние, фаза колебаний получает приращение 2π:

– частота, число колебаний в единицу времени. В системе СИ: [υ] = Гц – частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается один цикл процесса. Циклическая частота:

Первая и вторая производная по времени от гармонически колеблющейся величины S(t) так же совершают гармонические колебания с той же циклической частотой.

Фаза dS/dt отличается от фазы S на π/2 – опережает.

Фаза d²S/dt² отличается от фазы S на π – опережает.

И з последнего уравнения следует: - дифференциальное уравнение гармонического колебания.

Общее уравнение гармонических колебаний:

где А₁, А₂ – произвольные постоянные интегрирования, которые можно найти из начальных условии t = 0. Подставляя t = 0 в уравнение, получаем:

Общее решение можно привести к стандартному виду гармонических колебаний , ,

Следовательно, величина S(t) совершает гармонические колебания только в том случае, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний.

Б) Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например маятник). Тогда сила трения (или сопротивления)

      где r – коэффициент сопротивления,   – скорость движения.

Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x:

, где kx – возвращающая сила, rυ_x – сила трения. Это уравнение можно переписать:

, отсюда следует:    .

      Введем обозначения: ;

Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающее колебательное движение, запишем так:

. Решение данного уравнения имеет вид (при   ):

Здесь А₀ и φ₀ определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения.

             

В) Колебания в контуре можно вызвать либо, зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток (например, включив магнитное поле).Т.к. R = 0, то полная энергия контура E = const.

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что, энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии; Индуктивность L играет роль массы т; 1/С – роль коэффициента жесткости k; Заряду q соответствует смещение маятника х; Силе тока I ~ скорость υ;Напряжению U ~ ускорение а

В соответствии с законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии)

R = 0, , ,

Получаем дифференциальное уравнение второго порядка: решением которого является гармоническая функция:

Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω₀ – собственная частота контура. Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона:

,

- волновое сопротивление [Ом].

- Закон Ома

,

На емкости ток опережает напряжение на π/2. На индуктивности наоборот напряжение опережает ток на π/2.

Г) Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

По второму закону Кирхгофа: или - Это уравнение свободных затухающих колебаний в контуре R, L и C. Решение этого уравнения имеет вид: - коэффициент затухания, - собственная частота контура. При , т.е. или

На рисунке показан вид затухающих колебаний заряда q и тока I.

Колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.