1. Визначення та властивості графа. Складові частини графа.

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами). Объекты представляются как вершины, илиузлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Граф, или неориентированный граф   — это упорядоченная пара  , для которой выполнены следующие условия:

·   — это непустое множество вершин илиузлов,

·   — это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе  — порядком, число рёбер   — размером графа.

Вершины   и   называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра  . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть  .

2. Теореми теорії графів.

Теорема 3.1.Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.

Теорема 3.2.Число нечетных вершин любого графа четно.

Теорема 3.3.Во всяком графе с nвершинами, где nбольше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с оди­наковыми степенями.

Теорема 3.4.Если в графе с nвершинами (nбольше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.

Теорема 3.5.Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.

Теорема 3.6.Для того, чтобы граф был эйлеро­вым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.

Теорема 3.7.Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечет­ными вершинами этого графа.

Теорема 3.8. Если данный граф является связ­ным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу.

Теорема 3.9.Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить n^n-2.

13. Алгоритми пошуку остовного дерева. Алгоритм Прима.

Как и алгоритм Крускала, алгоритм Прима следует общей схеме алгорит- ма построения минимального остова. Он похож на алгоритм  Дейкстры поиска кратчайшего пути в графе. В алгоритме Прима  растущая часть остова представляет собой дерево (множество рёбер которого  есть А). Как показано на рис. 5.10, формирование дерева начинается с произ- вольной корневой вершины r. На каждом шаге добавляется ребро наименьшего  веса среди рёбер, соединяющих вершины этого дерева с вершинами не из дерева.  По следствию 5.9 добавляемые рёбра являются безопасными для А, так что  в результате получается минимальный остов. В алгоритме Прима множество А представляет собой одно дерево. Бе-зопасное ребро, добавляемое к А, выбирается как ребро наименьшего веса, соединяющее это уже построенное дерево с некоторой новой вершиной.