3. Аналитический метод оптимизации

3.1. Свойства функций одной переменной

В теории оптимизации функция f (x) , описывающая некоторый процесс на множестве SR , где S – область допустимых значений x множества R , называется целевой функцией.

Ряд физических процессов можно описать с помощью непрерывных функций, т. е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x_i , принадлежащей областям их определения.

Функция f (x) является монотонной (как при возрастании, так и при убывании), если для двух произвольных точек x₁ и x₂ таких, что x₁x₂ , выполняется одно из следующих неравенств: f (x₁)f (x₂ ) (монотонно возрастающая функция) или f (x₁)f (x₂) (монотонно убывающая функция).

Функция f (x) является унимодальной на отрезке a x b в том и только в том случае, если она монотонна по обе стороны от единственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки x*. Другими словами, если x* – единственная точка минимума f (x) на отрезке ax b , то f (x) оказывается унимодальной на данном интервале тогда и только тогда, когда для точек x₁ и x₂ :

из x*x₁x₂ следует, что f (x*)f (x₁)f (x₂) ;

из x*x₁ x₂ следует, что f (x*) f (x₁) f (x₂ ) .

Унимодальная функция необязательно должна быть непрерывной. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

При анализе оптимизационных задач, как правило, возникают два общих вопроса.

1. Вопрос анализа «в статике». Как определить, представляет ли данная точка x* оптимальное решение задачи?

2. Вопрос анализа «в динамике». Если x не является точкой оптимума, то какая последовательность действий приведет к оптимальной точке x*? [1]

3.2. Критерии оптимальности

Функция f (x) , определенная на множестве S , достигает своего глобального минимума в точке x*S в том и только в том случае, если f (x*)f (x) для всех xS .

Функция f (x) , определенная на множестве S , имеет локальный минимум (относительный минимум) в точке x*S в том и только в том случае, если f (x*) f (x) для всех x, удаленных от x* на расстояние, меньшее , т. е. если существует 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию │ x -x*│ <, выполняется неравенство

f (x*) f (x) .

В случае, если функция обладает свойством унимодальности, то локальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

Если функция не является унимодальной, то возможно наличие нескольких локальных оптимумов; при этом глобальный минимум можно определить путем нахождения всех локальных оптимумов и выбора наименьшего из них. [1]

3.3. Идентификация стационарных точек

Стационарной точкой x* называется точка, в которой

Точка x* называется критической, если производная функции f (x) или производная данной функции не существуют.

Необходимые условия для того, чтобы точка x* являлась точкой локального экстремума дважды дифференцируемой функции f (x) на интервале (a; b), выражаются соотношениями:

Ниже приведены условия, достаточные для того, чтобы точка x * являлась стационарной точкой дважды дифференцируемой функции f (x) на интервале (a; b).

Пусть в точке x * первые (n -1) производные функции обращаются в ноль, а производная порядка n отлична от ноля.

1. Если n – нечетное, то x* – точка перегиба.

2. Если n – четное, то x* – точка локального оптимума:

2.1. Если производная положительная, то x* – точка локального минимума.

2.2. Если производная отрицательная, то x* – точка локального максимума.

Необходимые и достаточные условия доказываются с помощью разложения функции f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x*:

[1]