Целочисленный программирование задача ком

Решение задачи ЛП в неканонической форме симплекс-методом

Пример. Решить следующую задачу ЛП в неканонической форме симплекс-методом:  f(x) = x₁ – x₂ – 3x₃ → min                                  (5.11)  при ограничениях:

                                           (5.12)  x₁, x₂, x₃≥ 0                                                           (5.13)  Умножая обе части (5.12) на -1 и прибавляя в левые части системы дополнительные (или слабые) переменные x₄ ≥0, x ₅ ≥0, x₆ ≥0, получим каноническую форму (слабые переменные на целевую функцию не влияют):

                             (5.14)  Так как все слабые переменные входят со знаком "+", то их можно взять в качестве базисных и составить начальное допустимое базисное решение x⁰=(0,0,0,1,2,5). В данном случае исключать базисные переменные из целевой функции нет надобности (так как они в ней отсутствуют), поэтому целевую функцию записываем сразу в виде  f(x) = x₁ – x₂ – 3x₃                                             (5.15)   (требование симплекс-метода). С помощью начального допустимого базисного решения x⁰ и выражений (5.14) и (5.15) составим начальную симплекс-таблицу (здесь f(x⁰)=0).    Так как x⁰ неоптимален (в нулевой строке есть положительные числа 1 и 3), то с обозначенным ведущим элементом строим новое допустимое базисное решение. И так далее. На четвертой итерации (шаге) получаем таблицу:    В качестве упражнения проверьте правильность вычисления элементов этой таблицы, выполнив пропущенные две итерации (таблицы).  Как видно из последней таблицы, оптимальным решением задачи является x⁰⁰⁰⁰=(1/3, 11/3, 4) и f(x⁰⁰⁰⁰)=-46/3.  Как итог рассмотрения двух примеров, приведем алгоритм симплекс-метода:  1. привести задачу к канонической форме;  2. привести систему ограничений к диагональной форме и определить базисные переменные;  3. исключить базисные переменные из целевой функции;  4. построить симплекс-таблицу;  5. проверить найденное допустимое базисное решение на оптимальность: если оно оптимально, то решение закончить; если нет, то перейти к пункту 6;  6. вычислить ведущий элемент таблицы;  7. провести симплексное преобразование;  8. построить новое начальное допустимое базисное решение и перейти к пункту 5. 

Заключение

В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.