Деформированное состояние

Теория деформации исследует процесс формоизменения тела, причем основывается такое исследование на малых деформациях. Это позволяет рассматривать процесс в каждый данный момент времени. В процессе деформирования каждая точка тела смещается от своего первоначального положения, что в целом характеризует движение сплошной среды. Существуют два подхода при изучении движения сплошной среды.

Переменные Лагранжа

В данном случае объектом изучения являются материальные частицы самой среды. В качестве переменных при этом принимают декартовые координаты произвольной материальной частицы в начальный момент времени . Тогда ее текущие координаты в том же базисе неподвижного пространства наблюдателя есть функции времени и начальных координат . Переменные и время называются переменными Лагранжа.

Переменные Эйлера

В этом случае в качестве объекта изучения принимают неподвижное пространство наблюдателя или его фиксированную часть, заполненную движущейся средой. Различные величины, характеризующие при этом движение, считаются функциями точки и времени, т.е. функциями трех аргументов и времени , называемых переменными Эйлера.

С точки зрения Лагранжа нас интересуют законы изменения давления, скорости, температуры и др. величин для данной индивидуальной частицы, а с точки зрения Эйлера - изменение этих величин в данной точке пространства. От переменных Лагранжа можно перейти к переменным Эйлера и наоборот. В дальнейшем мы будем пользоваться переменными Лагранжа.

Перемещения, деформации и связь между ними

Металлические тела, обладая способностью сохранять сплошность, под воздействием внешних сил могут менять свою форму за счет перемещения точек тела.

Пусть в начальный момент координаты точки , а в данный момент . Тогда перемещения по координатным осям будут . Их называют компонентами перемещений.

Изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещениями называется деформацией.

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям, определяет деформированное состояние тела и характеризует изменение его формы и размеров.

Деформацию можно описать линейным изменением. Положительным считают удлинение, отрицательным – укорочение.

Для малых деформаций

П омимо линейной существует угловая или сдвиговая деформация. Относительные сдвига обозначают через с двумя индексами, указывающими координатную плоскость, в которой происходит искажение угла. Поскольку искажение в данном случае определяется углом , то, очевидно, можно записать, что