Глава 3. Решение задачи кулоновского искажения спектра ионов скл методом локального интегрирования

Если пренебречь коэффициентом диффузии как в скоростном пространстве D, так и в координатном  (то есть считаем, что распространение потока ионов СКЛ j_x сквозь корональную плазму носит конвективный характер), то уравнение (2.14) приобретёт вид

. (3.1)

Сразу оговоримся, что слабость такого предположения не только в том, что не учитывается коэффициент диффузии в скоростном пространстве D, но ещё и в том, что вместо среднего темпа потери скорости (или энергии ) ионов СКЛ используется проекция их ускорения а_х на основное направление их движения. Однако на околоземной орбите регистрируются спектры именно энергий СКЛ, а не их проекций скорости. Но если считать, что распространение потока СКЛ сквозь корональную плазму, в основном, конвективное, то допущение замены на a_x оправданно. Так как в таком случае проекция и модуль скорости ионов СКЛ практически совпадают. Также нужно иметь в виду, что конвективный поток j_x = V_x f выражается через проекцию, а не модуль скорости ионов СКЛ.

В отдельных случаях это предположение оказывается наиболее сильным, например, для высокоэнергичных ионов СКЛ, которые почти наверняка имеют конвективный, а не диффузионный тип распространения. Другой возможный случай, где данное предположение может быть уместно  присутствие сильных магнитных полей. В этом случае ионы СКЛ могут распространяться на большие расстояния только вдоль силовых линий магнитного поля. И однозначно можно утверждать, что такое движение будет конвективным.

Вопрос о том, так ли на самом деле, ещё требует своего решения. Здесь стоит хотя бы упомянуть кардинальную разницу в подходах к характеру распространения (диффузионному либо конвективному) ионов СКЛ сквозь корональную плазму у разных авторов, например в работах [3] и [13].

Вернёмся однако к уравнению (3.1). Опуская индексы, перепишем его в виде

. (3.2)

Делая замену , перепишем (3.2) в виде

Откуда имеем

или

.

Тогда решение уравнения будет иметь вид [9, 13]:

,

где а = а(V), ‑ начальное распределение ионов СКЛ по скоростям, причём V₀ – скорость данных частиц в начальный момент времени (то есть при x = 0), а их ускорение . При этом V₀ = V₀ (V, x) находится из условия

,

Уравнение (3.2) можно решить также и стандартным способом. Введём обозначение

, (3.3)

Тогда уравнение (3.2) запишется в виде

. (3.4)

Ищем интеграл уравнения в виде

или

. (3.5)

Тогда решение уравнения (3.4) будет иметь вид

,

или, с учётом обозначения (3.3)

, (3.6)

где V₀ определяется из соотношения (3.5).

Если начальное распределение имеет степенной вид

[3], (3.7)

где В₀ – полученная из экспериментальных данных аппроксимирующая константа, а  ‑ экспериментально подсчитываемый показатель спектра, то решение уравнения (3.1) примет вид

, (3.8)

Основная трудность использования решения уравнения (3.2) в виде соотношения (3.8)  неберущийся интеграл (3.5) , через который можно было бы выразить параметр V₀. Поэтому воспользуемся для решения данной задачи методом локального (численного) интегрирования.

Для начала, как и в методе сеток, разделим координату х на достаточно малые интервалы Δx = x_i+1 − x_i, i = 1, 2…n.

Дальнейшая суть метода заключается в том, что при малом шаге интегрирования Δx соотношение (3.5) без существенной потери точности можно записать в алгебраическом виде. Так, для х₁ имеем

, (3.9)

откуда выражаем V₀ как

. (3.10)

И тогда согласно соотношению (3.7) имеем

.

По аналогии с формулой (3.9) для x₂ имеем

,

Откуда для V₀ (x₂,V) получаем (при этом имея в виду Δx = x₂ − x₁):

. (3.11)

Обобщение формулы (3.11) даёт

.

И тогда окончательное решение уравнения (3.2) с начальным условием , как следует из соотношения (3.8), будет иметь вид

. (3.12)

Графики для неискажённого (x = 0) и искажённого спектра, рассчитанного по соотношению (3.12) при прохождении ионами СКЛ (гелий) некоторого расстояния x = L (6,5∙10⁸ см) представлены на рис. 1 (в двойном логарифмическом масштабе).

f (V,x)

отн ед

1

10⁻⁹

V/u_e

Рис. 1.  График зависимости f (V, x) от скорости V для начального (неискажённого) спектра (верхний график) и искажённого спектра f (V, L) при прохождении некоторой толщи корональной плазмы L (нижний график), рассчитанный методом локального интегрирования. u_e − тепловая скорость электронов.

Обобщение метода

Используя результаты предыдущей задачи, попробуем теперь уже подойти к решению уравнения (2.14), более сложного и с учётом кулоновского коэффициента диффузии D в пространстве скоростей. Перепишем его ещё раз:

, (3.13)

Считая пролёт ионами СКЛ сквозь плазму прямым, полагаем плотность потока частиц . Далее, введём обозначение

.

И тогда, опуская индексы, уравнение (3.13) можно записать в виде

.

Вводя обозначение (3.3), перепишем его ещё раз:

. (3.14)

Считая вклад в решение достаточно малым, попытаемся продвинуться в поисках данного решения, записав интеграл уравнения (3.14) как

. (3.15)

Вообще говоря, формула (3.15) уместна, только если положить равной константе. Однако хитрость метода численно-локального интегрирования позволяет на малом шаге интегрирования действительно считать примерно постоянным.

Интегрируя (3.15), получаем

,

где V₀ находится из условия (3.5).

Итак, наша задача заключается в том, чтобы найти все и F (V, x). И, зная все F(V,x), автоматически находим f (V, x) = F (V, x)/a(V). При этом полагаем F(V, 0) = f (V, 0) a (V) известным из начального условия (3.7).

Поделим ось Ох на достаточно малые интервалы . Тогда для F(V, x₁) имеем

,

где V₀ (V, x₁) находится из соотношения (3.10).

Зная F (V, x₁), мы автоматически знаем . А отсюда по цепочке находим F (V, x₂) и т.д. методом численно-локального интегрирования:

.

И таким образом находим все интересующие нас F(V,x), а значит, и f (V,x).

ВЫВОДЫ

По проделанной работе можно сделать следующие выводы:

1) Влияние силы кулоновского торможения на ионы СКЛ действительно сказывается на специфике наблюдаемой формы спектра данных ионов. А именно наблюдаются так называемые «выедания» (депрессии) в этих спектрах. При этом данные депрессии находятся примерно на одном интервале энергий для разных ионов.

2) Степень влияния силы кулоновского торможения на спектры ионов СКЛ пропорционально квадрату заряда и обратно пропорционально массе этих ионов. Также сильно зависит от пройденной толщи корональной плазмы.

3) Протонная компонента корональной плазмы вносит основной вклад в искажение энергетического спектра ионов СКЛ. Электронная компонента в торможении ионов участвует слабо.

4) Несовершенство рассмотренных моделей кулоновского искажения спектра СКЛ заключается в том, что не был учтён кулоновский коэффициент диффузии в пространстве скоростей. Учёт данного коэффициента был бы интересен в дальнейших исследованиях кулоновского искажения спектров ионов СКЛ. Другое несовершенство заключается в том, что при выводе выражения для кулоновских потерь энергий ионов СКЛ учитывались только парные столкновения, тройные столкновения и столкновения более высокого порядка не учитывались

5) В дальнейшем планируется изучить влияние других видов потерь на искажение спектра ионов СКЛ, кроме как кулоновского.

6) В задачах на кулоновское искажение спектра, как было уже продемонстрировано, одним из наиболее удобных методов расчёта оказался вышеизложенный метод локального интегрирования.