1.3. Постановка задач теории упругости в смешанном виде.
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ханкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
,
где
функции
называются оригиналом
и изображением
соответственно, и являются элементами
некоторого функционального пространства
,
при этом функция
называется ядром
интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.
Тела с покрытиями – широко распространенный класс современных материалов. Синтез современных покрытий направлен на создание все более тонких покрытий сложной структуры, (функционально-градиентных или многослойных). В большинстве практически важных случаев свойства покрытий материалов изменяются по одной координате, ортогональной к образующей поверхности подложки, на которую наносится покрытие, или просто упрочняется приповерхностный слой основного материала.
Так для повышения прочностных свойств материалов широко используются различного рода покрытия и накладки. Исследование напряженного состояния горных пород также сводится к задачам для упругих сред с покрытиями, в качестве которых могут рассматриваться пластины и оболочки. В настоящее время центр исследований по теории пластин перемещается в область динамики. Это объясняется, прежде всего, запросами авиационной и космической техники. Однако изучение динамического поведения конструкций имеет существенное значение также для судостроения, инженерных сооружений и т.д.
Наличие покрытия может существенно влиять на процессы распространения возмущений и развитие деформаций. Именно поэтому использование конструкций с указанными свойствами требует теоретического прогнозирования их свойств.
Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование
Фурье функции
вещественной
переменной является интегральным и
задаётся следующей формулой:
2 Свойства
Хотя
формула, задающая преобразование Фурье,
имеет ясный смысл только для функций
класса
,
преобразование Фурье может быть
определено и для более широкого класса
функций и даже обобщённых функций. Это
возможно благодаря ряду свойств
преобразования Фурье:
Преобразование Фурье является линейным оператором:
Справедливо равенство Парсеваля: если
,
то преобразование Фурье сохраняет
-норму:
Это
свойство позволяет по непрерывности
распространить определение преобразования
Фурье на всё пространство
.
Равенство Парсеваля будет при этом
справедливо для всех
.
Формула обращения:
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта
формула объясняет физический смысл
преобразования Фурье: правая часть —
(бесконечная) сумма гармонических
колебаний
с
частотами
,
амплитудами
и
фазовыми сдвигами
соответственно.
Теорема о свёртке: если
,
тогда
,
где
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
Преобразование Фурье и дифференцирование. Если
,
то
Из
этой формулы легко выводится формула
для
-й
производной:
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
Преобразование Фурье и сдвиг.
Эта
и предыдущая формула являются частными
случаями теоремы о свёртке, так как
сдвиг по аргументу — это свёртка со
сдвинутой дельта-функцией
,
а дифференцирование — свёртка с
производной дельта-функции.
Преобразование Фурье и растяжение.
Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь
определим его двойственное пространство
.
Это некоторое подпространство в
пространстве всех обобщённых функций —
так называемые обобщённые функции
медленного роста. Теперь для функции
её
преобразованием Фурье называется
обобщённая функция
,
действующая на основные функции по
правилу
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:
Таким
образом, преобразованием Фурье
дельта-функции является константа
.