Логические операции и элементарные логические функции.

ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)

Таблица сложения: Выполняет логическую операцию ИЛИ.

0 v 0 = 0 Обозначается X=AvB.

0 v 1 = 1

1 v 0 = 1 На выходе появится сигнал 1, когда

1 v 1 = 1 ИЛИ на первом ИЛИ на втором входе

Обозначение на схемах: есть сигнал 1.

Эту схему в электронике называют

A 1 X=AvB схемой сборки.

B Технический пример: сигнал о пожаре.

КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)

Таблица умножения: Выполняет логическую операцию И.

0  0 = 0 Обозначается X=A^B.

0  1 = 0

1  0 = 0 На выходе появится сигнал 1, когда

1  1 = 1 И на первом И на втором входе

Обозначение на схемах: есть сигнал 1.

Эту схему в электронике называют схемой совпадений

A & X=AB.

B Технический пример: сигнал "готовность".

ИНВЕРСИЯ (логическое отрицание)

Таблица сложения: Выполняет логическую операцию НЕ.

1 = 0 Обозначается чертой сверху.

0 = 1

Обозначение на схемах:

Эту схему в электронике называют инвертором.

A 1 X=A

Технический пример: сигнал о пожаре.

ОТРИЦАНИЕ ОТ КОНЪЮКЦИИ (И-НЕ)

0 & 0 = 1

0& 1 = 1 ___

1& 0 = 1A & F=A&B

1 & 1 = 0 B

функция Шеффера

ОТРИЦАНИЕ ОТ ДИЗЪЮНКЦИИ (ИЛИ-НЕ)

00 1 Стрелка Пирса

0 1 0 __ X1 1 F

1 0 0 F=Xn; F=1, если Xn=0 X2

1 1 0

РАВНОЗНАЧНОСТЬ

X1	X2	F
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

__ __

X1 F=X1&X2 V X1&X2

X2 = F

НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ

F=X1+X2 __ __

F=X1&X2 V X1&X2

X1	X2	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

XOr

X1 == F

X2

ИМПЛИКАЦИЯ

F=X1->X2

X1	X2	F
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

1. Законы одинарных элементов

A v 1 = 1

A  1 = A Эти соотношения доказываются путем подстановки

A v 0 = A A=1 и A=0

A  0 = 0

2. Законы отрицания

­_

A= A Закон двойного отрицания

AA = 0 Законы дополнительности

A vA = 1

_ _ _____

A v B = A  B Правило де Моргана Следствия из правила де Моргана:

_ _ ____ ___ ____

A  B = A v B A v B =AB A vB =A v B

____ _____

AB =A vB AB =A v B

3. Комбинационные законы

A v A = A Законы тавтологии

A  A = A

A v B = B v A Коммутативные законы

A  B = B  A

(A v B) v C = A v (B v C) Ассоциативные законы

(A  B)  C = A  (B  C)

A(B v C) = AB v AC Дистрибутивные законы

A v (BC) = (A v B)(A v C) Второй дистрибутивный закон можно доказать на основе первого:

(AvB)(AvC) = AAvACvBAvBC = AvACvABvBC = =A(1vCvB)vBC = A v BC

A v AB = A Законы поглощения Законы поглощения можно доказать:

A(A v B) = A AvAB = A(1vB) = A

A(AvB) = AAvAB = AvAB = A(1vB) = A

A B v AB = A Законы склеивания

(A v B)(A vB) = A Доказательство:

A B v AB = A(B vB) = A

(A v B)(A vB) = A A v AB v A B v BB = A v AB v AB = =A(1 vB v B) = A

ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

Каждое логическое выражение можно реализовать в виде конкретной логической схемы:

a 1 a ab 1 D=a vab

&

b

Можно попытаться преобразовать это выражение:

___ ________ __________ ___

D = a vab =aab =a(a vb)= a a vab =ab = a v b

Следовательно D=a v b a 1 D=a v b

b

Эта схема намного проще, поэтому всегда следует стараться упростить выражение.

Это же преобразование можно сделать с помощью второго дистрибутивного закона, а затем закона склеивания:

D = a vab = (a va)(a v b)= a v b