11) Остроградского метод это:

ОСТРОГРАДСКОГО МЕТОД

- метод выделения алгебраич. части у неопределенных интеграловот рациональных функции. Пусть Р(х).и Q(х).- многочлены с действительными коэффициентами, причемстепень Р(х).меньше степени Q(х).и, следовательно, -правильная дробь,

a_i, p_j, q_j - действительные числа, и b_i- - натуральные числа, i=l, 2, ..., r, j=1, 2, ..., s,

Тогда существуют такие действительные многочлены Р ₁ (х).п Р ₂ (Х), степени к-рых меньше соответственночем степени п ₁ и n₂=r+2s многочленов Q₁(x).и Q₂(x), что

Важным является то обстоятельство, что многочлены Q₁(x) н Q₂(x).можно найти без знания разложения (1)многочлена Q(x).на неприводимые множители: многочлен Q₁(x).является наибольшим общим делителеммногочлена Q(х).и его производной Q' (х).и может быть получен с помощью алгоритма Евклида, aQ₂(x)=Q(x)/Q₁(x). Коэффициенты многочленов P₁(x).и Р ₂ (х).можно вычислить с помощью неопределенныхкоэффициентов метода. О. м. сводит, в частности, задачу интегрирования правильной рациональной дробик задаче интегрирования правильной рациональной дроби, знаменатель к-рой имеет, простые корни;интеграл от такой функции выражается через трансцендентные функции: логарифмы и арктангенсы.Следовательно, рациональная дробь

12) Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов. Если степень многочлена, стоящего в числителе дроби, не меньше, чем степень многочлена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целую часть, т.е. представить ее в виде:

R(x) +

где R(x), P(x), Q(x) – многочлены, причем степень P(x) меньше степени Q(x). Рациональная дробь , обладающая этим свойством, называется правильной. Для интегрирования такой дроби ее необходимо разложить в сумму простейших дробей, которые легко интегрируются:

т.е. этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней (интегрирование простейших дробей последнего типа будет показано ниже на примере). Остановимся подробнее на методике разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Это выполняется по следующей схеме:

1. Сначала знаменатель дроби Q(x) необходимо разложить на множители вида: x-a, (x- .

При этом часто используется теорема Виета: если квадратный трехчлен имеет корни то

= a(x- .

2. Далее следует записать разложение дроби в сумму простейших дробей, оставляя неопределенными коэффициентами А, В, С, D и т.д. При этом каждому множителю вида (x-a) соответствует дробь , множителю вида ( соответствует сумма дробей:

а множителю вида , если он не имеет действительных корней ( , соответствует дробь вида:

3. Для определения коэффициентов A, B, C, D, E в этом разложении следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x у многочлена P(x) и многочлена, который получается в числителе после приведения записанной суммы простейших дробей к общему знаменателю (метод неопределенных коэффициентов). Можно также находить эти коэффициенты путем сравнения значений указанных многочленов при конкретных значениях x (в первую очередь, при x, совпадающих с корнями знаменателя Q(x).

Вычислить интеграл: