10) Интегрирование элементарных дробей

Элементарными (или простейшими) дробями называются дроби следующих четырех типов:

I.    

A

x − a

 ,

II.    

A

(x − a)k

 ,

III.    

Mx + N

x2 + 2px + q

         ( p² − q < 0 ) ,

IV.    

Mx + N

(x2 + 2px + q)k

         ( p² − q < 0 ) ,

где A , M , N , a , p , q — действительные коэффициенты, k — натуральное число.

Интегралы от дробей типа I и II вычисляются подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной:

∫  A x − a   dx   =   A  ∫  1 x − a   d(x − a)   =   ln |x − a| + C

∫  A (x − a)k   dx   =   A  ∫  1 (x − a)k   d(x − a)   =    A (1 − k) (x − a)k − 1    +   C.

Для интегрирования дроби типа III выделяем полный квадрат в знаменателе, чтобы подобрать подстановку:

∫  Mx + N x2 + 2px + q   dx   =   ∫  Mx + N (x + p)2 + (q − p2)   dx .

Теперь очевидно, что интеграл упрощается подстановкой x = -p + a · t , где a = √

q − p2

 :

∫  Mx + N x2 + px + q   dx   =    1 a  ∫  M a t + N − M p t2 + 1   dt   =

=  M  ∫  t t2 + 1   dt   +    N − M p a    ∫  1 t2 + 1   dt.

(1)

Таким образом, задача сведена к отысканию интегралов

I1   =   ∫  t t2 + 1   dt     и     I2   =   ∫  1 t2 + 1   dt.

Интеграл I₁ находим подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной:

I1   =    1 2    ∫  1 t2 + 1   d (t2 + 1)   =    1 2   ln (t2 + 1)   +  C.

Интеграл I₂ является табличным:

I2   =   ∫  1 t2 + 1   dt   =   arctg t + C .

Подставляя I₁ и I₂ в формулу (1) и возвращаясь к переменной x подставляя t = (x + p)/a , получаем искомый интеграл от дроби типа III .

Интеграл от дроби типа IV упрощается с помощью тех же преобразований, что и интеграл от дроби типа III:

∫  Mx + N (x2 + 2px + q)k   dx   =    1 a2k − 1  ∫  M a t + N − Mp (t2 + 1 )k   dt   =

=   M a2k − 2  ∫  t (t2 + 1 )k   dt   +    N − Mp a2k − 1  ∫  1 (t2 + 1 )k   dt

(2)

Таким образом, задача сведена к отысканию интегралов

I1   =   ∫  t (t2 + 1)k   dt     и     I2   =   ∫  1 (t2 + 1)k   dt .

Интеграл I₁ находим подведением под знак дифференциала

I1   =    1 2    ∫  1 (t2 + 1)k   d(t2 + 1)   =    1 2 (1 − k) (t2 + 1)k − 1    +  C.

Для вычисления интеграла I₂ будем рассматривать его как функцию k:   I₂ = I₂(k) , (k = 1, 2, 3, … ) . Очевидно, что I₂(1) = arctg t + C:

С помощью интегрирования по частям получаем

I2(k)   =   ∫  1 (t2 + 1)k   dt   =    t (t2 + 1)k    +   2k ∫  t2 (t2 + 1)k+1   dt   =

=    t (t2 + 1)k    +   2k ∫  1 (t2 + 1)k   dt   -   2k ∫  1 (t2 + 1)k+1   dt .

Поэтому

I2(k)   =    t (t2 + 1)k    +   2k I2(k)   -   2k I2(k+1) .

Отсюда

I2(k + 1)   =    t 2k (t2 + 1)k    +    2k − 1 2k    I2(k) ,         (k = 1, 2, … ).

(3)

По этой формуле при k = 1 интеграл I₂(2) выражается через I₂(1) = arctg t + C:

I2( 2 )   =    t 2 (t2 + 1)    +    1 2  ( arctg t + C ) .

Зная I₂(2), мы можем использовать формулу (3) при k = 2, чтобы выразить I₂(3) через I₂(2) . Затем I₂(4) выражается через I₂(3), I₂(5) выражается через I₂(4), и т.д. Таким образом можно найти I₂(k) с любым k > 1 .

Замечание. Интеграл I₂(k) можно находить также с помощью подстановки   t = tg u. При k = 2, 3 и 4 такой способ может показаться более простым.

Подставляя I₁ и I₂ в формулу (2) и возвращаясь к переменной x подставляя t = (x + p)/a , получаем искомый интеграл от дроби типа IV .