Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл 

Решение. В исходном интеграле выделим функции   и  , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ. 

9) Интегрирование рациональных выражений

Отношение  двух алгебраических многочленов

,                                            (1)

,

,

, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.

Будем считать, что рациональная дробь   действительная, т. е.   и   - действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что   - действительная переменная.

Рациональные функции вида

   (2)

где  ,  ,  ,   - действительные числа,  - натуральное число, а трехчлен   не имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.

В § 5.2. мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11), § 5.2).

Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции   (см. (1)). Если  , то простым делением выделяем из   целую часть:

.

Интегрирование многочлена не представляет труда, и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь   правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя  .

Т е о р е м а  2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5’) § 5.5:

.

Тогда дробь (1) можно представить, и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших дробей:

   (3)

где  ,  ,   (с соответствующими индексами) – постоянные числа.

Эта теорема утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа  ,  ,   с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всех  , исключая значения  , для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.

Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство

,      (4)

где  ,  ,  ,   - вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

.                           (5)

Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями   и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях   обеих частей (см. § 4.14,  теорема 2);

                               (6)

Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными  ,  ,  ,  . Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6) получим  ,  ,  , и потому

.     (7)

В общем случае, если мы нашли коэффициенты   в (3), для интегрирования дроби   у нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс некоторая постоянная  . Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.

В случае примера (7)

.

З а м е ч а н и е  1. Равенство (5) верно для любого  .  Но оно тогда верно и при  , потому что слева и справа в (5) стоят непрерывные функции от  .  Подставив в (5)  , получим  , т. е.   и, положив  , получим  , т. е.  . Эти данные   сильно упрощают систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.

З а м е ч а н и е  2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни   и их кратности. Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.