1)Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел  , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что  . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда  , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число   называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

2) Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Понятие интеграла

Совокупность всех первообразных функции  , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции   и обозначается символом  . То есть

Знак   называется интегралом,   - подынтегральным выражением,   - подынтегральной функцией, а   - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции   называетсяинтегрированием функции  . Интегрирование представляет собой операцию, обратнуюдифференцированию.

3) Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Пример

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Пример

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Пример

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Пример

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Пример

6. Если  , то и  , где функция   - произвольная функция с непрерывной производной.

Пример

Известно, что  , а тогда

4) Основные формулы

5) Интегрирование заменой переменной

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле   сделать подстановку  , где функция   - функция с непрерывной первой производной, то тогда   и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание

После нахождения интеграла по новой переменной   необходимо вернуться к первоначальной переменной  .

Замечание

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку  , тогда

Примеры решения интегралов данным методом

Задание. Найти интеграл 

Решение. Сделаем замену переменной:  , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Ответ. 

Следствия из метода интегрирования заменой переменной

Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:

то есть

Аналогично можно показать, что

6) Метод интегрирования по частям

Рассмотрим функции   и  , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл   можно свести к нахождению интеграла  , который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)    ;      ;   

Здесь   - многочлен степени  ,   - некоторая константа. В данном случае в качестве функции   берется многочлен, а в качестве   - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется   раз.