Практичні завдання для підготовки до екзамену з дисципліни «Дискретна математика»

1. Задано множини та . Знайти ,

2. Задано множини та . Знайти декартовий добуток множин А і В.

3. Задано множину . Записати множину всіх підмножин множини А

4. Задана універсальна множина . , , , - її підмножини. Знайти: а) ; б) .

5. Задано множини та відношення С між множинами А і В.

Визначити, чи є відношення всюди визначеним, функціональним, ін’єктивним, cюр’єктивним, бієктивним.

6. Побудувати граф і матрицю відношення

7. Визначити, чи є відношення на множині рефлексивним, анти рефлексивним, транзитивним, симетричним, антисиметричним.

8. Задано множину . Для заданого відношення R на множині М визначити область визначення та область значень відношення R, знайти ,

9. Побудувати таблицю істинності булевої функції: ;

10. Звести до КНФ та ДКНФ: а) б)

11. Звести до ДНФ та ДДНФ: а) б)

12. Побудувати ДДНФ та ДКНФ булевої функції, заданої вектором значень

13. Побудувати таблицю істинності для формули . Чи є дана формула тавтологією?

14. Методом відшукання контрприкладу довести, що задана формула є тавтологією

15. Довести методом резолюцій клаузу

16. Звести до КНФ та ДКНФ формулу

17. Записати речення формулою логіки предикатів: а) у групі є студент, який любить математику,

б) сума двох додатних чисел – додатне число.

18. . Побудувавши відповідні таблиці істинності, визначити, чи є правильними твердження:

1) (AB)C ABC; 2) AB, AC ACAB.

19. Перевірити, чи справджується слідування

20. Перевірити коректність висновку: 1) Кожний студент університету має жити в гуртожитку. Михайло не живе в гуртожитку. Отже, Михайло не студент університету

2) “Якби не було дощу, ми б сходили в ліс, і в нас було б багато грибів. Дощу не було, і ми сходили в ліс. Отже, у нас багато грибів”..

3) “Я піду в театр або залишуся у будинку. Я залишився у будинку. Отже, я не пішов у театр”;

21. Побудувати діаграму, матрицю суміжності та матрицю інцидентності графа , де .

22. Побудувати діаграму, матрицю суміжності та матрицю інцидентності орграфа , де .

23. Скільки ребер буде містити доповнення графа, якщо граф має 6 вершин і 7 ребер? Побудувати дані графи.

24. Скільки можна утворити різних перестановок букв в слові «дерево»?

25. Скільки різних трицифрових чисел можна записати з допомогою цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, якщо жодна з цифр у записі числа не повторюється двічі?

26. Із 16 чоловік вибирають комісію в складі голови, замісника та двох рядових. Скільки існує способів проведення виборів?

27. Записати розклад полінома

28. Знайти коефіцієнт при у розкладі полінома

29. Довести рівносильності:

1) (AÙB®C)®(A®C)ºØAÚBÚC; 2) (AÙB®C)®(C®AÙB)º(C®A)Ù(C®B).

Зразок тестового завдання на колоквіум

1. Будь-яка упорядкована множина, складена з k елементів, вибраних із n-елементної множини, називається …

2. Формула - це формула для обчислення числа …

3. Якщо елемент а з множини А можна вибрати n способами, а елемент b з множини B - m способами, то вибір пари (а, b) декартового добутку множин А і B можна здійснити …

4. Якщо маємо множину з n елементів різного виду і число елементів кожного виду необмежене, то набори довжиною k, які не залежать від порядку розміщення елементів, називаються …

5. Для обчислення числа перестановок Р _n з повтореннями використовують формулу

6. Згідно біному Ньютона (х+у) ⁿ обчислюється за формулою…

7. Неорієнтованим графом G=(V, E) називають …

8. Доповненням графа G=(V, E) називається …

9. Деревом називається …

10. В матриці інцидентності графа G=(V, E) елемент а_{ij= …}

11. Якщо будь-які дві вершини графа з’єднані ребром, то граф називається …

12. Вершина і ребро називаються інцидентними, якщо …

13. Якщо будь-які дві вершини графа з’єднані деяким маршрутом, то граф називається …

14. Одномісним предикатом Р(х), визначеним на множині Х, називається …

15. Запис означає …

16. Знаком позначається …

17. Квантор існування можна записати у вигляді …

18. Формула логіки предикатів називається загальнозначущою, якщо …

19. Перетином двох множин А і В називається …

20. Декартовим добутком двох множин А і В називається …

21. Множину всіх підмножин множини А називають …

22. Множина В називається підмножиною множини А, якщо…

23. Різницею двох множин А і В називається …

24. Множина, яка містить цілі та дробові числа, називається …

25. Відношенням, побудованим на множині А, називають …

26. Відношення R на множині А називають рефлексивним, якщо …

27. Відношення R на множині А називають транзитивним, якщо

28. Відношення R на множині А називають відношенням еквівалентності, якщо воно…

29. Областю значень відношення називається …

30. Відношення називається функціональним, якщо…

31. Якщо кожен елемент у з множини У є образом хоча б одного елемента х з множини Х, то відображення з Х в У називається…

32. Якщо упорядкована пара (х,у) належить функціональному відношенню, то координату х називають

33. Булевою функцією називається…

34. Завжди істинний логічний вираз називається…

35. Скільки булевих функцій двох змінних можна утворити?

36. Вираз X V У читають так:

37. Згідно дистрибутивного закону X У V Z=…

38. Імплікація Х і У тотожно дорівнює …

39. Диз’юнктивною нормальною формою називається…

40. Кон’юктивна нормальна форма називається досконалою, якщо кожен множник містить кожну логічну букву або її заперечення, а також…

41. Сукупність операцій, через які виражаються всі інші операції, називають…

42. Для мінімізації булевих функцій застосовують …

43. Висловлюванням називається …

44. Кон’юнкція двох висловлювань істинна тоді, коли…

45. Імплікація висловлювань p і q читається так:

46. Формула g – логічний наслідок формул f_1, f_{2, …,} f_n тоді й лише тоді, коли:

47. Яке з даних правил виведення в логіці висловлювань є правилом Моdus ponens:

48. Закінчити правило резолюції …