4. Расчет коэффициентов надежности элементов и систем.

Коэффициент надежности элемента определяют по данным статистической обработки вариационных рядов по формулам:

(1)

или по показателям интенсивности отказов и восстановления λ(t) и μ(t):

(2)

Надежность основной системы (системы последовательно соединенных элементов) определяется при наличии только технических отказов зависимостью:

(3)

при равнонадежных элементах:

(4)

где n – количество последовательно соединенных элементов в системе;

При расчетах количественных показателей резервированных и комбинированных структур систем необходимо знать не только их надежность, но и ненадежность элемента; поскольку надежность r_i и ненадежность q_i элемента составляют полную сумма вероятностей, равную единице, то:

q_i =(1- r_i) (5)

Ненадежность резервированной системы (при параллельном соединении элементов) определяется как вероятность того, что все элементы системы отказали, то есть:

(6)

Надежность, соответственно, определиться зависимостью:

(7)

или, при равнонадежных элементах

(8)

где m – количество резервных элементов.

Степень (m+1) при расчете надежности системы объясняется тем, что в системе один элемент обязателен, а количество резервных может меняться от 1 до m.

Как уже было отмечено, резервирование в комбинированных системах может быть поэлементным, группой элементов и поэлементным. Показатели надежности систем зависят от вида резервирования в комбинированной системе. Рассмотрим эти варианты различных способов развития системы.

Надежность комбинированных резервированных систем с общим резервированием (системное резервирование) определяется зависимостью:

(9)

при равнонадежных элементах (следовательно, подсистем):

(10)

Надежность комбинированных систем с резервированием группами элементов определяется последовательно; сначала определяются надежности резервированных подсистем, затем – надежность системы последовательно соединенных подсистем.

Надежность комбинированных систем с поэлементным (раздельным) резервированием определяется последовательно; сначала определяются надежности блок-элементов (элемент, резервированный одним, двумя и т.д. до m элементов), затем – надежность системы последовательно соединенных блок-элементов.

Надежность блок-элемента равна:

(11)

Надежность комбинированной системы R_кj при поэлементном резервировании равна:

(12)

или при равнонадежных элементах:

(13)

Рассмотрим пример расчета надежности системы без резервирования и с различными формами её развития (резервирования). Дана система, состоящая из четырех элементов обладающих разной надежностью, блок-схема которой приведена на рисунке 6.

Рис. 6 – Блок-схема исходной (основной) системы

Надежность системы в этом случае определяется:

0,950 · 0,820 · 0,910 · 0,790 = 0,560.

Блок-схема при полном системном резервировании системы приведена на рисунке 7.

Рис. 7 – Блок-схема комбинированной системы при системном

резервировании.

В этом случае надежность комбинированной системы равно:

1- (1- 0,560)² = 1 – 0,194 = 0,806.

Надежность комбинированной системы при резервировании группами элементов будет зависеть от того, каким образом будут сгруппированы элементы; в нашем примере элементы группируются так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8 – Блок-схема комбинированной системы при

резервировании группами элементов.

Надежность первой подгруппы R_о1 из 1-го и 2-го последовательно соединенных элементов будет равна:

0,95·0,82 = 0,779;

Надежность блок-элемента первой подгруппы:

=1-(1- 0,779)² = 0,951.

Надежность второй подгруппы R_оп из 3-его и 4-го последовательно соединенных элементов будет равна:

0,91·0,79=0,719.

Надежность блок-элемента второй подгруппы:

=1–(1–0,719)² = 0,921.

Надежность системы R_кс из двух последовательно соединенных подсистем будет равна:

0,951·0,921= 0,876.

Надежность комбинированной системы R_кj при поэлементном резервировании равна произведению надежности блок-элементов, состоящих каждый из одного элемента системы, блок-схема системы приведена на рисунке 9.

Рис. 9 – Блок-схема комбинированной системы при поэлементном резервировании.

Надежность блок-элемента определяется по формуле:

Для первого элемента: r_j1 =1–(1–0,95)²=0,997;

Для второго элемента: r_j2 =1–(1–0,82)² = 0,968;

Для третьего элемента: r_j3 =1–(1–0,91)² = 0, 992;

Для четвертого элемента: r_j4 =1–(1–0,79)² = 0,956.

Для системы последовательно соединенных блок-элементов:

0,997·0,968·0,992·0,956=0,915.

Как показывает пример расчета, чем больше связей между элементами системы, тем выше её надежность.

По изложенному материалу выполняется задание № 1.

Задание № 1. Образец задания (матрицы исходных данных) представлен в приложении А к настоящим методическим указаниям. Задания индивидуальны для каждого студента.

В первом задании решаются следующие задачи:

1. По матрице хронометражных данных составляются статистические, затем вариационные ряды по времени безотказной работы и времени восстановления по каждому элементу системы (причина отказа соответствует номеру элемента в задании), строятся номограммы распределения случайных величин по времени безотказной работы и времени восстановления.

2. Определяют математическое ожидание времени безотказной работы и времени восстановления по каждому элементу.

3. По формуле (1) или (2) определяют надежности элементов системы.

4. По формуле (3) определяют надежность основной (последовательной) системы по надежности входящих в систему элементов.

5. Снова возвращаются к исходной матрице хронометражных данных и составляют статистический, затем вариационный ряд по работе системы безотносительно к причине отказа.

6. Строят номограммы распределения случайных величин по времени безотказной работы и времени восстановления в целом по системе.

7. Рассчитывают надежность системы по формуле (1) или (2) и сравнивают с надежностью системы, полученной по надежности входящих в систему элементов; при правильно выполненных расчетах отклонение этих двух величин друг от друга не должно превышать 3 – 5 %.

Задание № 2 выполняется по параметрам надежности, полученным в первом задании, и состоит в том, чтобы определить влияние резервирования отдельных элементов на надежность комбинированной системы.

Для решения студент выбирает любой элемент системы и резервирует его одним равнонадежным элементом. Например, третий (рисунок10).

Рис. 10 – Блок-схема системы при однократном резервировании третьего элемента.

Расчет надежности системы ведется в последовательности:

1. Рассчитывается надежность блок-элемента (в примере – третьего) по формуле (11); m + 1 = 2 (один элемент основной, второй – резервный):

т.е. .

2. Рассчитывается надежность системы по формуле:

или ;

т.е. надежность системы при резервировании одного элемента равна надежности основной системы, умноженной на относительное увеличение надежности блок-элемента при определенной кратности резервирования.

3. Выбранный элемент резервируется двукратно, блок–схема дана на рисунке 11.

Рис. 11 – Блок-схема системы при двукратном резервировании третьего элемента.

4. рассчитывается надежность блок-элемента (в примере – третьего) по формуле (11); m + 1 = 3 (один элемент основной, два - резервных);

т.е. ;

5. рассчитывается надежность системы по формуле:

или .

Выполнение этого задания помогает выполнить третье задание.

Как видно из расчетов резервирования выбранного для примера элемента, увеличения числа резервных элементов в блок-элементе увеличивает надежность системы, однако это увеличение сопровождается увеличением стоимости формирования системы и на определенном этапе дальнейшее увеличение надежности системы может стать экономически нецелесообразным. Определить, до какого уровня выгодно повышать надежность системы при увеличении кратности резервирования, помогает анализ изменения удельных затрат на единицу производительности системы. Этот анализ проводится при решении третьего задания.

Задание №3. Рассчитать оптимальную структуру системы по минимуму удельных затрат в ее формирование («стоимость» элементов по вариантам см. в таблице, приложение Б).

Решение вопроса о целесообразной надежности системы является оптимизационной задачей.

Целевая функция оптимизации системы имеет вид:

(14)

где - суммарные затраты на систему; - достигнутый на основе этих затрат коэффициент готовности комбинированной системы.

Пример. Исходные условия: задана основная система вида (см. рисунок 12):

r_i 0.800 0.700 0.650 0.900

C_i 20 30 12 50

Рис. 12 – Структура основной системы, показатели надежности

элементов и условные стоимости элементов.

Решение:

1. Определяем надежность основной системы:

=0,800·0,700·0,650·0,900=0,328.

2. Определяем стоимость основной системы:

С_о= =20+30+12+50=112 у.е.

3. Определяем удельные затраты на достижение данного коэффициента надежности основной системы:

Рассмотрим далее пример формирования оптимальной структуры системы при последовательном резервировании всех элементов системы.

Расчеты сводим в таблицу. Таблица включает в себя несколько этапов и полос. Нулевой этап состоит из двух полос. В первой полосе записываем исходные данные (см. таблицу) по элементам при отсутствии резервирования элементов. Во второй полосе записываем надежность блок-элементов при однократном ( ) и двукратном резервировании ( ) равнонадежными элементами, а также отношение коэффициентов готовности блок-элементов к коэффициентам готовности элементов ( / ) и ( / ).

В последней графе показываем последовательную блок-схему системы и её характеристики: С_о; R_го; Y_о.

На первом (и каждом следующем) этапе производим расчеты по надежности системы при резервировании каждого отдельного элемента одним и двумя равнонадежными элементами. После произведенных расчетов находим в последних двух строках минимальное значение удельных затрат в формирование структуры системы, фиксируем это значение и принимаем решение резервировать тот элемент, который обусловливает наименьшие удельные затраты. В последней графе фиксируем полученную новую блок-схему системы и выписываем её характеристики (из того столбца, который показывает наименьшие удельные затраты).

На втором (и каждом следующем) этапе основной принимается блок-схема системы, полученная на предыдущем этапе. Расчеты в столбце элемента, который резервировали на данном этапе, в последующих этапах не выполняем.

Таблица 1. Формирование оптимальной структуры системы

Этап	Полоса	m	Характеристики элементов и блок-элементов	Элементы				Структура системы и её характеристики
				1	2	3	4
0	1	0	rтi ci ,у.е.	0.800 20	0.700 30	0.650 12	0.900 50	Основная; Rго=0,328; Со= 112; Yо = 341.
	2	1 2 1 2		0,960	0,910	0,877	0,990
				0,992	0,997	0,957	0,999
			/	1,20	1,30	1,34	1,10
			/	1,24	1,42	1,47	1,10
1	3	1 2 1 2 1 2	Со + сi	132	142	124	162	Комбинированная, резервирован третий элемент. Rг1 = 0,442; С1 = 124; Y1 = 280. Y0 › Y1
			Co + 2ci	152	172	136	212
				0.393	0.426	0.442	0.361
				0.406	0.465	0.483	0.364
				336	333	280	449
				374	370	281	582
2	4	1 2 1 2 1 2	С1+сi	144	154	-	174	Комбинированная, резервированы второй и третий элементы. Rг2 = 0,575; С2 = 154; Y2 = 268. Y1 › Y2
			C1 +2ci	164	184	-	214
				0.530	0.575	-	0,486
				0.548	0.628	-	0.490
				272	268	-	358
				299	293	-	457
3	5	1 2 1 2 1 2	С2+сi	174	-	-	204	Комбинированная, резервированы первый, второй и третий элементы. R23 = 0,690; С3 = 174; Y3 = 252. Y2 › Y3
			C2+2ci	194	-	-	254
				0,690	-	-	0,632
				0,713	-	-	0,638
				252	-	-	323
				272	-	-	398
4	6	1 2 1 2 1 2	С3+сi	-	-	-	224	Комбинированная, резервированы первый, второй, третий и четвертый элементы. R24 = 0,759; С4 = 224; Y4 = 345. Y3 ‹ Y4
			C3+2ci	-	-	-	274
				-	-	-	0,759
				-	-	-	0,766
				-	-	-	345
				-	-	-	398

Расчеты производим до тех пор, пока удельные затраты при резервировании очередного элемента не превысят удельных затрат, полученных на предыдущем этапе. Схема системы, имеющая наименьшие удельные затраты является оптимальной.

Пояснения к таблице. На первом этапе (полоса 3) наименьший показатель удельных затрат обусловлен резервированием третьего элемента, поэтому вводим его в систему, получаем комбинированную систему (её характеристики в таблице), которая будет основной для следующего этапа, т.е. сравнение после следующего этапа развития системы проводятся не по отношению к исходной системе, а по отношению к системе, полученной на предыдущем этапе. В таблице видно, что удельные затраты после введения второго резервного элемента уменьшились, поэтому переходим к следующему этапу.

Пятая полоса показывает эффективность резервирования первого элемента, т.к., удельные затраты снижены по сравнению с предыдущим этапом развития системы; поэтому переходим к следующему (четвертому) этапу. На четвертом этапе резервируем четвертый элемент и получаем удельные затраты, превышающие затраты на предыдущем (третьем) этапе. Отсюда делаем вывод, что оптимальная система получена на третьем этапе, т.е., когда однократно резервируются первый, второй и третий элементы.

В таблице минимальные значения удельных затрат (и соответствующих характеристик полученной схемы) по всем этапам оптимизации выделены рамкой. Прочерки показывают, что вычисления в столбцах элементов, введенных в структуру резервирующими, не делаются.

Список использованной литературы.

1. Костенко Н.А. Прогнозирование надежности транспортных машин.

М.: Машиностроение, 1989г.-240 с; ил.

2. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А.М.Половко, И.М. Маликова М.: Соврадио, 1972 г.

3. Харазов А.М. Диагностическое обеспечение ТО и ремонта автомобилей. - М.: Высшая школа, 1990 г. -208 с.

4. Техническая эксплуатация автомобилей. Под ред. Крамаренко Г.В. М.: Транспорт, 1983 и последующие издания.

5. Венцель Е.А. Исследование операций. М.: Соврадио, 1972 г.

6. Зайцев Е.И., Заметалин И.И., Лукинский В.С. Надежность автотранспортных средств; учебное пособие СПб, СПбГИЭА, 1994 г,- 94 с.

Приложения к методическим указаниям к решению задач.

Приложение А. Пример исходной матрицы по хронометражному исследованию надежности системы.

студенту группы МХА - …. ________________________

Исходные данные: ведомость отказов и восстановления элементов и системы.

Масштаб таблицы: одно деление : работа ● – 1 час. отказ □ – 0,3 часа.

рабо-та

от-каз

при-чина

рабо-та

от-каз

при-чина

рабо-та

от-каз

при-чина

рабо-та

от-каз

при-чина

рабо-та

от-каз

при-чина

●

□

□

●

2

●

3

●

1

●

3

●

3

□

□

□

□

□

□

●

●

2

□

●

□

●

1

□

●

●

●

□

□

●

1

●

1

●

3

□

●

□

□

□

●

4

●

3

●

●

4

●

□

□

●

□

●

4

●

●

●

2

●

□

●

●

1

□

●

3

●

●

1

□

●

4

□

●

2

□

□

□

●

2

□

●

2

●

●

3

□

●

3

□

●

4

□

●

4

□

□

□

□

□

●

4

●

4

●

●

1

□

□

□

●

1

□

□

●

●

3

□

●

●

1

●

□

●

2

●

□

●

2

□

□

●

●

3

□

●

●

●

2

□

□

●

3

●

□

●

2

●

4

□

●

1

□

□

□

●

□

□

●

●

●

1

●

3

●

3

●

4

●

3

□

□

□

□

□

□

□

●

1

●

●

□

●

□

●

3

●

●

●

2

●

2

□

●

1

●

□

□

●

4

□

●

2

●

4

●

3

□

●

□

□

□

●

●

3

□

□

●

4

●

□

●

4

●

□

●

2

●

2

□

●

1

□

□

□

□

□

●

□

●

3

●

●

3

●

1

●

3

□

●

3

□

□

□

●

4

□

●

●

●

□

●

●

2

●

3

●

●

●

□

□

●

●

●

Приложение Б.

Исходные данные к заданию 3 – формирование оптимальной структуры системы.

Таблица «стоимости» элементов системы (условные единицы).

Элемент	1	2	3	4	Элемент	1	2	3	4
Задание №					Задание №
1	3	7	4	2	16	9	3	7	2
2	4	2	5	8	17	10	3	5	8
3	6	4	3	7	18	4	7	5	2
4	8	6	2	4	19	3	8	6	2
5	10	7	5	7	20	7	5	4	6
6	2	5	8	2	21	2	5	3	8
7	3	7	6	2	22	1	6	5	4
8	5	10	7	3	23	3	7	9	5
9	7	3	10	5	24	7	3	10	6
10	9	2	6	5	25	9	4	7	3
11	2	6	8	3	26	4	2	5	4
12	5	2	7	4	27	5	7	6	9
13	8	5	10	4	28	2	8	3	5
14	3	7	9	2	29	5	8	2	9
15	5	4	8	5	30	8	10	4	7

Учебное издание

Воскресенский Игорь Владимирович

Воскресенская Тамара Петровна