На правах рукописи

ИБУШЕВА ОЛЕСЯ ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ

01 02 01 - теоретическая механика

оиз473233

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003479233

Работа выполнена в Нижнекамском химико-технологическом институте (филиал государственного образовательного учреждения высшего профессиональног образования «Казанский государственный технологический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Мухарлямов Роберт Гарабшевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Савчин Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук Матюхин Владимир Иванович

Ведущая организация

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (государственный технический университет)», г Москв

Защита диссертации состоится «» Оогг^^и^. 2009 г в « /Ус» часов на заседани диссертационного совета Д 212 203 34 в Российском университете дружбы народов п адресу

117923, Г Москва, ул Орджоникидзе, д 3,зал№ 1

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университ дружбы народов (117198, г Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6)

Автореферат разослан « »^^аугплЯ^^С 2009 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 203 34 кандидат физико-математических наук, доцент

Будочкина С А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое внедрение робототехники в различные отрасли ауки и производства, развитие космических технологий, транспортных систем и их именение в быту объясняет интерес исследователей к задачам управления движением еханических систем К моделям управляемых механических систем можно отнести боты-манипуляторы, мобильные роботы, космические объекты и т п Большинство зникающих задач исследования механических систем можно свести к двум аимосвязанным научным проблемам - моделированию кинематики и динамики систем управлению их движением Основные результаты исследований по моделированию оцессов кинематики и динамики механических систем относятся к голономным и голономным системам, описываемым уравнениями Лагранжа второго рода

Задачами управления движением механических систем посвящено множество бот Особое место среди них занимают исследования ученых А С Галиуллина, И Зубова, Г В Коренева, П Д Крутько, И А Мухаметзянова, Р Г Мухарлямова, В Румянцева и др

Вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических стем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными Так, например, я программирования движения управляемых механических систем эффективно пользуется решение обратной задачи качественной теории дифференциальных авнений В частности, применение метода построения автономной системы фференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на оскости позволяет получить уравнения неголономных связей, описывающих нематические свойства плоской стационарной системы Недостаточное внимание елено задаче моделирования кинематики нестационарных систем

Обратная задача качественной теории неавтономных систем дифференциальных авнений, исследованию которой посвящена первая глава работы, по существу является вой Да и случай автономной системы подробно исследован в случае интегральных ивых, заданных алгебраическими уравнениями Предложенная в данной работе нструкция неавтономной системы дифференциальных уравнений в многомерном остранстве, полученная из условия устойчивости заданного интегрального огообразия, помогает найти решение задачи моделирования кинематических свойств стационарных систем \

J

В последнее время интенсивно развиваются методы автоматизации составления решения уравнений движения Удобные для автоматизации формы записи уравнени движения могут быть получены при использовании методов и принципов теоретическо механики Вариационные принципы механики и связанные с ними комплекс физически идей и математических методов имеют активное значение как в теоретической механик так и в различных научных и технических проблемах При создании методо автоматизированного моделирования динамики широкое распространение получил методы построения уравнений движения в форме Лагранжа, основанные н вариационном принципе Даламбера-Лагранжа Для исследования задачи управлени динамикой обычно используются не только уравнения в форме Лагранжа, а такж уравнения в форме Гамильтона в канонических переменных Канонические уравнени динамики позволяют представить уравнения второго порядка системой уравнени первого порядка, разрешенных относительно производных Разработанны аналитический метод построения уравнений движения в обобщенных координатах и канонических переменных на основе интегрального вариационного принцип Гамильтона-Остроградского удобен для решения задач автоматизации управлени динамикой систем с программными связями Актуальность предложенных методо обусловлена также тем, что они применимы к широкому классу систем

Цель диссертационной работы.

1 Разработать метод построения уравнений нестационарных неголономных связе! описывающих заданные кинематические свойства механической системы

2 Построить уравнения динамики систем с программными связями в форме Лагранж Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтон Остроградского

3 Разработать алгоритм определения управляющих воздействий на механическу систему, обеспечивающих стабилизацию связей

4 Построить математические модели манипуляционной и транспортной систем, использованием разработанных методов

5 Решить задачу управления движением мобильного робота с обходом подвижны препятствий

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы сследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и налитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений, гории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры

Научная новизна. Разработан метод построения неавтономной системы ифференциальных уравнений с заданными свойствами решений Определена онструкция неавтономной системы из условия устойчивости ее решений по отношению множествам решений Разработан метод построения уравнений динамики в форме агранжа, Гамильтона для систем с голономными и неголономными программными ¡язями, используя интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского пределены условия стабилизации связей, определяющих программное движение еханической системы Разработан метод определения управляющих воздействий на еханическую манипуляционную систему, обеспечивающих устойчивость программного вижения Разработан алгоритм моделирования управляемого мобильного робота, беспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики Решена задача правления движением мобильного робота с обходом подвижных препятствий

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации езультатов основана на строгих математических доказательствах

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть спользованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических стем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, ри решении задач управления роботами-манипуляторами, мобильными роботами, анспортными и космическими системами

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на ХЫН - ХЬУ Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2007-2009 г г),

на VI молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2007" (Казань, Казанский государственный университет, 2007 г),

на заседании восьмого Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (Казань, Казанский государственный технический университет им А Н Туполева, 2008 г),

- на Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и высоки технологии XXI века» (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологически институт, 2009 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах И них 3 статьи, 10 публикаций в материалах конференций Одна работа [6] опубликована журнале, входящем в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех гла] заключения и списка цитированной литературы Объем диссертационной работ составляет 114 страниц, работа содержит 24 рисунка, список литературы насчитывае 101 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбора темы, приводится сжатый обзо литературы, относящейся к теме диссертации Формулируются цель работы, отмечаете ее научная новизна и практическая значимость Кратко излагается содержани диссертации по главам, и приводятся основные результаты, полученные в работе

Первая глава посвящена задаче моделирования кинематических свойств системы В §1 вводятся основные понятия и определения, при помощи которых проводятс исследования по теме диссертации

В §2 определяется структура множества неавтономных систем дифференциальны уравнений

щ а/

dt 8xt i=Jtl дхк j

ax j dt

ГГ> 7 = 1,2, ,n, (1

'K.

dxk

s

имеющих заданные функции f,(x,t) (/ = 1,2, ,г) своими частными интегралам! Предполагается, что при любом t функции ft(x,t) всюду в области G непрерывны

обладают непрерывными частными производными (j = 1,2, ,и), Т

8Xj dt j=i

df,

V ' ^

B(1

0(х,{) - произвольная непрерывная функция, - непрерывные функцш

обращающиеся в нуль вдоль многообразия (1) и определенные в виде

/>,М=рМ//; лЕ/оУ; л/— (2)

1 V*=1

= /о/, fpfp* 1 fqfq+l frfrA > где /„ = 1, /„, = 1, функции ¿CM) (j = 1,2, ,/?) допускают есконечно малый высший предел Уравнения f,(x,t) = 0 при / = р + 1,р + 2, ,q оответствуют «перемещающимся» поверхностям, имеющим общие части M(t) редполагается, что многообразие Л/(<) обладает компактной окрестностью при всех >10 Равенства fw(x,t) = 0 при w = q + \,q + 2, ,г разделяют области, заполненные оверхностями разных типов «Подвижные» поверхности, определяемые уравнениями w(x,t) = 0, не имеют общих точек с поверхностями fs(x,t) = 0 и многообразием M{t)

В §3 определены условия устойчивости интегральных многообразий, на основе оторых строятся системы дифференциальных уравнений (1), показано, что выбором ункции P(x,t), Q(x,t) и коэффициентов a'*' (j,k = 1,2, ,n,h = 1,2, ,д) в выражении (2) ожно добиться выполнения условий устойчивости или неустойчивости интегральных оверхностей fs(x,t) = 0 и многообразия M(t) Для определения условий устойчивости, симптотической устойчивости и неустойчивости интегрального многообразия спользуется метод функций Ляпунова

§4 посвящен решению задачи построения системы дифференциальных уравнений с энными свойствами решений на плоскости из условия устойчивости этих решений ассматриваются некоторые примеры моделирования кинематических свойств инамических систем

Во второй главе рассматривается задача моделирования динамики управляемых еханических систем с программными связями Предлагается метод построения системы ифференциальных уравнений, описывающей динамику расширенной механической стемы, фазовое состояние которой определяется векторами обобщенных координат

= (?,). y = И скоростей q = {qX у = {у„), / = (?;), J = 1'2' '

= 1,2, ,т„ o = ,т2 Предполагается, что известны кинетическая энергия асширенной системы Т = T(y,y,y',q,q), потенциальная энергия Р = P(y,q,t), иссипативная функция D = D(y,y,y',q,q,t) Силы Rj соответствуют координатам q] и

рассматриваются как управляющие силы, обеспечивающие выполнение уравнени программных связей

Ф(9.0 = ЯО, Ф = (<0- А = и ,и„ (3

Ф,?+Ф,=.К0, ф,=

, Ф,=|^|.У = и, ,«, (4

Ч'(?,?.0 = У(0, 7 = 1,2, (5

Компоненты векторов избыточных переменных у,у,У, оценивающие отклонения о уравнений связей, наложенных на обобщенные координаты qJ и скорости q] исходно системы, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям возмущений связей разрешенных относительно старших производных,

= = Ну,у,у',я,я,О, (6

ш а!

g(0, О, 0, ц, ч, I) = О, /¡(О, 0, 0, <7, д, /) = О

Уравнения (6) составляются таким образом, чтобы обеспечить асимптотическу устойчивость и стабилизацию связей

Для описания неголономных связей исходной системы Ч'(с1,с/,1) = О используютс уравнения, составленные в соответствии со структурой (1)

В §1 разрабатывается метод построения уравнений динамики несвободны механических систем в форме Лагранжа на основе интегрального вариационног принципа Гамильтона-Остроградского

\$г+стак\и = о, (7

'о

= (8 ох дх

дд дд 8: дг \у)

б = б(?,9,0 - вектор обобщенных непотенциальных внешних сил, й = - векто

управляющих сил

Интегрируя по частям второе слагаемое выражения (8) с учетом равенст

&(/„) = &(/,) = О и & = — &, выражение (7) можно представить в виде Л

ч

= 0 (10)

десь ^ = F'),

=-—- — +—+--<2 г1 =-—-—+—+— (11)

Л дд дд Эд Э^ ' Л д: 8: д: д:

Если вариации избыточных переменных определяются из уравнений (3)-(5) по равилу

ет&,=&, 0=^ (12)

о возможные перемещения исходной системы должны быть определены решением истемы т, +т2 линейных алгебраических уравнений (12) относительно п неизвестных

Следуя основной лемме вариационного исчисления, с учетом общего решения равнения (12) и выражения элементарной работы обобщенных управляющих сил в лучае идеальных связей условие (10) выполняется только тогда, когда справедливы авенства

¿"'=0% Fг = о, (13)

де Я = (лил2, ,Лщ.т>) - вектор произвольных множителей Тогда, используя принятые бозначения (9) и (11), выражения (13) можно представить в следующем виде

+ + (14)

Л дд 8д дд дд

а дТ дТ дР дО .

----+ — + — = 0, (15)

Ж ду ду ду ду

Щ+Щ=0 (16)

Л ду ду

Далее определяются выражения компонент вектора множителей Я путем ифференцирования уравнений (4), (5) с учетом уравнений (14)-(16), разрешенных тносительно старших производных

В §2 излагается метод построения уравнений динамики систем с программными вязями (3)-(5) в форме Гамильтона Канонические уравнения динамики позволяют редставить уравнения второго порядка системой уравнений первого порядка, азрешенных относительно производных

дЬ 51 дЬ - й где р =—, х =—, г =--векторы обобщенных импульсов,

дд 8у 8у

ЦУ,У,У\<1,<1>0 = Т(У,У,У',Ч,Я)-Р(У,Ч,0 ~ функция Лагранжа, Гамильтона

Разрабатывается алгоритм определения выражения вектора управляющих си й = &тX, действующих на систему с целью обеспечения стабилизации связей, наложенны на исходную систему