Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Функция f(x) имеет множество первообразных вида F(x)+с, для произвольной константы с.

Множество всех первообразных обозначают и называют неопределенным интегралом

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции , непрерывной на отрезке [а, b], где - первообразная для . Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную функции , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность

Решение уравнений

Иррациональные уравнения

Теорема 1

.

Теорема 2.

Алгоритм решения иррациональных уравнений:

Для того, чтобы не нарушить равносильность при возведении в квадрат обеих частей уравнения с квадратными корнями необходимо:

• Потребовать, чтобы все выражения, стоящие под знаком квадратного корня были неотрицательными.

• При возведении обеих частей в квадрат надо потребовать, чтобы обе части уравнения были неотрицательны

• Решить смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенств

Показательные уравнения

Теорема 3.

Логарифмические уравнения

Теорема 4.

Замечания.

Если основание логарифма постоянное число, то первые две строчки в системе не записывают

Если в уравнении было несколько логарифмом, которые заменены одним, то в системе указываем, что каждое выражение, находившееся в исходном уравнении под знаком логарифма должно быть строго больше нуля

ПЛАНИМЕТРИЯ

ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И МНОГОУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Если , и , то	СЛЕДСТВИЕ . Если и - две высоты, то
ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле , где , а,в,с – стороны треугольника, а r – радиус вписанной в треугольник окружности	ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле , где а,в,с – стороны треугольника, а R – радиус описанной около треугольника окружности
ТЕОРЕМА Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.	ТЕОРЕМА(ФОРМУЛА ГЕРОНА) Площадь треугольника со сторонами а, в, с вычисляется по формуле , где
ТЕОРЕМА Площадь прямоугольника равна произведению его высоты на основание, то есть произведению его сторон	ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма ( в частности, ромба) равна произведению его высоты на основание.
ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.	ТЕОРЕМА Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (теорема верна для любого выпуклого четырехугольника).
ТЕОРЕМА Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.	ТЕОРЕМА Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту, или произведению его средней линии на высоту.

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.

ТЕОРЕМА. Сумма углов четырехугольника. равна 360º

ТЕОРЕМА Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

ТЕОРЕМА Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

СЛЕДСТВИЕ: Средняя линия отсекает от треугольника треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника

ТЕОРЕМА Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.