НАБОР ФОРМУЛ И ТЕОРЕМ ДЛЯ НАПИСАНИЯ ПЕРВОЙ ЧАСТИ ПРОФИЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

СТЕПЕНИ И ИХ СВОЙСТВА

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

1. По определению: .

2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:

3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Степень с рациональным показателем

Свойства степеней

Корни и их свойства

Корнем n-ой степени из числа a называется число, n-ая степень которого равна а, то есть : . Следовательно, по определению

Арифметическим корнем четной степени n-ой степени из неотрицательного числа a называется число, n-ая степень которого равна a.

Свойства арифметических корней

1.

2.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей: при

При a<0, b<0 имеет место равенство

3.Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

при b >0

При a<0, b<0 имеет место равенство

4.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число: при

5.  Если увеличить степень корня в m  раз и одновременно возвести в m-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:     при   

6.  При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение не меняется. при

7. При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:

(все подкоренные выражения неотрицательны).

Формулы сокращенного умножения

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
КВАДРАТ СУММЫ	КВАДРАТ РАЗНОСТИ
СУММА КУБОВ	РАЗНОСТЬ КУБОВ
КУБ СУММЫ	КУБ РАЗНОСТИ

Свойства логарифмов

Определение. Логарифмом числа х по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить х, то есть :

log _ax = b  a^b = x , если а  0, а 1, х  0

Основное логарифмическое тождество

а ^log _a^x = х , если а  0, а 1, х  0

Свойства логарифмов ( х  0; , у  0; а  0, а 1)

1. log _ax у = log _ax + log _aу

2. log = log _ax  log _aу

3. log _ax ^к = к log_а х

Формула перехода к логарифму по новому основанию

Следствия 1.

2.

3.

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

sin ²x + cos ²x = 1 tgx ctg x = 1

1 + tg ² x = 1 + ctg ² x =

Формулы сложения аргументов

sin ( х + у ) = sin х cos у + cos х sin у

sin ( х  у ) = sin х cos у  cos х sin у

cos ( х  у ) = cos х cos у + sin х sin у

cos ( х + у ) = cos х cos у  sin х sin у

Формулы двойного аргумента

cos 2х = cos ²х  sin ²х

sin 2х = 2 sin х cos х

tg 2x =

Следствие из формул двойного аргумента

1 + cos 2х = 2 cos ²х

1  cos 2х = 2 sin ²х

Решение тригонометрических уравнений

sin x = а  х = (1)^karcsin a + k или k Z

cos x = а  x = arccos a + 2 k k Z

tg x = a  x = arctg a + k k Z

Частные виды тригонометрических уравнений

sin x = 0 х = k	sin x = 1 х = + 2 k	sin x = 1 x =  + 2 k
cos x = 0 х = + k	cos x = 1 х = 2 k	Сos x = 1 x = + 2 k

Свойства обратных тригонометрических функций

arсsin ( a ) =  arсsin a

arccos ( a ) =  arccos a

arctg ( a ) =  arctg a

arcсtg ( a ) =  arсctg a

Значения тригонометрических функций некоторых углов

	0
sin	0				1				0	1	0
cos	1				0	-	-	-	1	0	1
tg	0		1		Не 	-	-1	-	0	Не 	0
сtg	Не 		1		0	-	-1	-	Не 	0	Не 