Определение уравновешивающих сил и моментов методом н. Е. Жуковского.
Согласно принципу Даламбера все реально действующие на звенья механизма силы, дополненные уравновешивающими, а также инерционными силами и моментами, образуют равновесную систему.
Согласно принципу возможных перемещений для такой системы сумма мгновенных мощностей всех сил и моментов в любой момент времени (и в любом положении механизма) равна нулю. И, что особенно важно, при расчетах без учета трения, т.е. в случае идеальных связей, реакции в кинематических парах в этом балансе мощностей не участвуют.
Мощность
каждого момента
вычисляют по формуле
,
где
– угловая скорость звена, к которому
приложен вращающий момент
(это может быть момент полезного
сопротивления, инерционный и т.д.);
мощность
– величина алгебраическая, она
положительна, если направления момента
и угловой скорости совпадают.
Мощность
силы
,
приложенной в точке, скорость которой
равна
(рис. 4.11, а)
находят как скалярное произведение
указанных векторов
.
а б в |
Рис. 13
|
Поскольку
– модули соответствующих векторов,
т.е. величины заведомо положительные,
то знак мощности
полностью определяется знаком величины
или правилом: мощность положительна,
если угол
между векторами
острый, и отрицательна, если этот угол
тупой (очевидно, что мощность
,
если
).
Произведение
представляет собой проекцию вектора
(рис. 13, б);
но тогда мощность можно рассчитать как
момент силы
,
повернутой относительно своего истинного
направления на
и приложенной к концу вектора
,
относительно начала этого вектора
(рис.
13, в),
т.е.
;
здесь
имеет размерность скорости.
На
этом равенстве и основан метод Н. Е.
Жуковского, реализация которого при
вычислении уравновешивающих сил и
моментов сводится к следующему (при
условии, что план скоростей механизма
уже построен в некотором масштабе
):
1) на плане скоростей отмечают точки приложения всех внешних сил (веса, инерции, полезного сопротивления);
2)
к отмеченным точкам плана прикладывают
соответствующие силы, повернутые на
относительно их истинных направлений;
направление поворота векторов сил может
быть любым, но оно должно быть одинаковым
для всех сил; для каждой «повернутой»
силы измеряют ее плечо
(в миллиметрах) относительно полюса
плана
;
план скоростей с приложенными к указанным точкам силами интерпретируют как жесткий рычаг, шарнирно прикрепленный в полюсе к стойке; заметим, что результат выполненного построения называют «рычагом Н. Е. Жуковского»;
3) устанавливают правило знаков для выполненного построения; здесь нужно исходить из следующего:
· знак момента любой силы в рычаге Жуковского должен совпадать со знаком ее мощности;
· все силы, имеющие мощности одинакового знака, имеют в рычаге Жуковского моменты одинакового направления;
таким образом, правило знаков можно установить по любой одной силе, для которой знак мощности достоверно известен;
4) составляют уравнение, которое, например, для механизма с одной степенью свободы и вращающимся начальным звеном имеет вид
.
Это уравнение имеет единственную неизвестную , которая легко определяется. Если полученное значение уравновешивающего момента положительно, то он направлен в сторону вращения начального звена.