§ 86. Тепер покажемо, що кожна точка, так накладених проективних рядів, має теж властивість.

Нехай A, B, С, D, ... A ', B', С ', D', ... будуть два проектні ряду, в яких точки А і А 'суть взаємно відповідні т. Е.

(ABСD) = (A'B'С'D ') і (A'BСD) = (AB'С'D')

Складаючи з цих, такі проектні відносини

(ABСD) = (A'С'D'B ') і (A'СDB) = (AС'D'B')

(ADBС) = (A'D'B'С ') і (A'DBС) = (AD'B'С')

і розділяючи перші рівності на другі знайдемо

(AA'СD) = (A'AС'D '), (AA'DB) = (A'AD'B'), (AA'BС) = (A'AB'С ')

Помічаючи, що якщо маємо (§ 52, 7)

(ABLM) = (ABL'M ')

то маємо також і

(ABLL ') = (ABMM')

Докладаючи це до попередніх рівнянь знайдемо ще три комбінації

(AA'СD) = (A'AС'D '), (AA'D'B) = (AAD'B), (AA'BС') = (A'AB'С)

З цих трьох рівностей, бачимо, що точка В і В ', С і С', D і D 'взаємні, отже можна написати ще такі три рівності

(AB'СD) = (A'BС'D '), (ABС'D) = (A'B'СD'), (ABСD ') = (A'B'С'D)

з яких, переміщаючи А і А 'знайдемо, останні три комбінації

(A'B'СD) = (AB'С'D '), (A'BС'D) = (AB'СD'), (A'BСD ') = (AB'С'D)

Ось і всі дванадцять з'єднань між чотирма точками і їх відповідними, які і показують, що якщо існує в двох проективних рядах дві взаємні точки, то і всі крапки цих рядів будуть взаємні.

Що було показано щодо двох проективних рядів, які перебувають у такому зв'язку, то відноситься і до двох проективним зв'язкам, які мають загальний центр

(О. Abсd ...) і (о. A'b'с'd '...).

Зі сказаного бачимо, що такі раді або зв'язки суть тільки із¬вестное відносне положення двох проективних рядів або зв'язок.

§ 87. Інволюція трьох пар точок. Якщо три пари відповідних точок на одній прямій: А і А ', В і В', С і С ', так пов'язані між собою, що чотири точки, довільно взяття, з шести, проективної чотирьом відповідним точками, то кажуть що три пари точок на¬ходятся в інволюції. Нехай, наприклад,

(ABСС) = (A'B'С'С)

то, як було показано вище, і все комбінації будуть проективної саме

(ABС'A) = (A'B'С'A) і (AB'СС ') = (ABСС')

Щоб побудувати інволюційний ряд з трьох пар точок можна взяти довільно дві пари А і А ', В і В' і точку С, а відповідну цієї точки С 'визначить з одного з попередніх рівнянь. Tоже ставитися і до трьох парам променів, що мають загальний центр.