Глава VII

Проективної.

53. У § 3 і 4 було показано яким чином одна форма проісхо¬діть з іншої проекцій або перетином: ряд дає плоску зв'язку проекцією, зв'язки дає ряд перетином, цей останній дає площинне зв'язку, яка дасть ряд або плоску зв'язку і т. Д. плоска система дає зірку проекцією, a зірка плоску систему перетином і т. д. Такий пе¬реход від однієї форми до іншої проекцією або перетином ми будемо називати перспективним освітою.

Визначення. Дві форми, що відбулися одна з іншої рядом перспективних перетворень, називається проективним.

З цього бачимо, що проектні відносини відповідних елементів, в проектних формах, рівні, так як відповідні елементи відбулися, в таких формах, поруч перспективних перетворень. Якщо дві перспективні форми перемістимо, то вони стануть проектними, отже, проективної є перспективність тільки в іншому становищі.

Пропозиція. Дві форми 1-го порядку, з яких кожна складається верб трьох елементів, завжди проективної, т. Е. Завжди можна побудувати третю форму, що знаходиться в перспективі з обома даними формами.

Доведення. Доведемо цю пропозицію тільки для двох рядів, з яких кожен складається з трьох елементів А, В, С, на двох пря¬мих про і про '. Всі інші випадки наводяться до цього так: ряд з трьох точок і зв'язка з трьох променів наводяться до трьох парам точок перетином зв'язки якою небудь прямою і т. Д.

Випадок 1. Прямі, на яких знаходяться елементи А і А ', В і В', С і С "не лежать в одній площині. Проведемо прямі АА ', ВВ', СС 'через відповідні елементи і пряму s так, щоб вони перетнули все три прямі АА', ВВ ', СС' (§24, зад. 3). Очевидно, що ряди А, В, С і А ', В', С 'будуть в перспективі з площинною зв'язкою S. АА', S. ВВ ', S. CC' отже ряди проективної.

Зa відповідні елементи ми вибрали А і А ', В і В', С і С ', але можна вибрати будь-які парі з шести елементів, аби відповідні елементи не перебували на одній прямій.

Випадок 2. Два ряду точок (Рис. 22) А, В, С і А ', В', С 'знаходяться на двох прямих і та і' в одній площині. Через відповідні точки А і А 'проведемо пряму АА' і на ній візьмемо де небудь дві точки S і S 'і нехай В' 'і С' 'будуть точки перетину прямих SB і S'B', SC і S 'C' нехай А '' буде точка перетину прямої SS 'з прямою В''С' '. Ряд А''В''С '', очевидно, в перспективі з обома рядами ABC і А'В'С ', отже ці раді проективної.

Якщо відповідні точки, які небудь, наприклад А і А 'збігаються (Рис. 23), то пряма SS' пройде через спільну точку яка в двох рядах сама собі відповідає, в цьому випадку, ряди ABC і А'В'С 'будуть перспективні , центр перспективи яких буде точка перетину променів ВВ 'і СС'.

Випадок 3. Нарешті три парі відповідних точок ABC і А'В'С 'знаходяться на одній прямій і. Проектуємо (Рис.24) з довільно взятій точки S '' поза прямою і, який-небудь з двох даних рядів, наприклад, А'В'С 'на довільно проведеної прямої и1, нехай проекція точок А'В'С' на прямий і будуть А1У1С1; з двома рядами ABC і А1В1С1 вчинимо як у другому випадку. З цього побудови видно, що ряд АВС проектівен ряду А1У1С1, a цей проектівен ряду А'В'С ', отже ряди ABC і А'В'С' проективної.

З цих побудов бачимо, що три довільно взяття точки на одній прямій з трьома взятими довільно на інший або на тій же прямій завжди проективної.

Пp. Зробити проектними точки А, В, С, на прямий о, точкам B, А, С на тій же прямій?

Реш. Через точку С проведемо довільно пряму СS і на ній візьмемо довільно точки L і S (Рис. 25). Нехай К і М будуть точки перетину прямих AL і BL з прямими SB і SА. Очевидно, що ряди LSC і ВАС в перспективі з центру К, так як мають спільну точку С.

а з точки М ряд LSC перспективний з рядом ABC, отже ряди ABC і ВАС проективної.

глава Х

Інволюція.

§ 85. У двох проективних рядах, поміщених на одній прямій, кожна точка розглядається як належить тому або дру¬гому ряду. Якщо точку А розглядатимемо, як належить до першого ряду, то їй відповідна, в другому ряду, нехай буде А 'якщо ж А розглядатимемо як належить до другого ряду, то відповідна, взагалі, буде якась точка В в першому ряду. Але може траплятися що точка В співпаде з точкою А 'розглянуту, як належить до першого ряду. В цьому випадку всі крапки двох рядів матимуть, як побачимо, нижче, теж властивість. Такий ряд називається Інволюційний.

Теж відноситься і до двох проективним зв'язкам, які при такій властивості називаються інволюційними.

Що ряди такого властивості існують ми покажемо в такий спосіб:

Нехай на прямій про розташовані два проектних ряду А, В, С ... і А ', В', С '... Знайдемо, як показано в задачі (§ 84) дві пари відповідних відрізків

     і

якщо після цього нанесемо другий ряд нa перший так, щоб точка М збіглася з точкою А, а А 'з точкою М', то очевидно, точці А в першому ряду відповідатиме А 'у другому, a точці А' в пер¬вом ряду буде відповідати А в другому. Точно теж отримаємо і щодо положення відрізків AN і A'N '. Зрозуміло, в протилежному напрямку.