2.4. Проективна відповідність. Проективні форми.

Вище ми бачили, що гармонійні форми першого порядку в перспективному перетворенні залишаються гармонійними. Є інша залежність між елементами форми першого порядку − міри, що не змінюється також в перспективному перетворенні, гармонійна форма якої є лише окремий випадок.

Нехай А, С, В, D, будуть чотири точки на прямій о і пучок променів а, с, b, d центр якого є точка О (Рис. 18).

Складемо з першої форми дві відповідності , а з іншої дві відповідності

З кожної пари цих відповідностей складемо наступні дві

Покажемо його властивість. Перетнемо пучок променів О. abсd прямою о в довільному напрямку в точках А, С, В, D, (Рис. 19), так променям а, с, b, d відповідають точки А, С, В, D.

Мал. 19.

З центру О опустимо перпендикуляр р на пряму о і розглянемо трикутники АОС, ВОС, AOD, BOD, площі яких можна виразити наступним чином:

,

,

розділяючи першу рівність на другу, а третю на четверту знайдемо

 

розділяючи дві останні рівності першу на другу, будемо мати

(1)

це рівняння призводить до наступних висновків:

1. Якщо пучок O. abcd перетнемо якою небудь іншою прямою о' в точках А', В', С', D' (Рис. 20) то матимемо

,

звідки

(2)

Отже проективна відповідність чотирьох точок А, С, В, D, не змінюється в перспективі

Перемістимо довільно центр О пучка О. асbd (Рис. 21), не переміщаючи точки А, С, В, D, в точку О'

то за властивістю (1) будемо мати

,

звідки

(3)

Отже проективна відповідність двох перспективних пучків не змінюється.

Вираз

і

зображують для стислості символами

(ABCD) і (abcd).

Отже, рівняння (1) можна написати у формі

(ABCD) = (abcd).

При складанні проектної відповідності чотирьох точок або кутів пучка, потрібно керуватися правилом знаків напрямків відрізків, так наприклад в виразі.

відрізок CB повинен мати відємний знак.

З чотирьох точок А, В, С, D на прямій про можна скласти 24 перестановленія, кожне з яких дає проективне відношення, але з них буде три різний, три їм зворотні, а решта будуть усі рівні шести попереднім. Різні будуть наступні:

(ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) (4)

вони повинні бути складені за формулою (1). Різні ж будуть

(ABCD), (ACDB), (ADBC),

а їм зворотні

                                                                                            (5)

(ABDC), (ACBD), (ADCB).

Рівність (4) можна показати, складаючи для кожного з них вираз (1), а в нерівності і зворотності (5) можна переконатися тим же способом. Нижче рівності (4) будуть показані побудовою.

Якщо проектне відношення точок А, С, В, D, так само проективного відношенню точок А ', В', С ', D', то

 

або

 

полога матимемо

                                                                                                               (6)

або

 

звідки легко бачити, що

                                                                                                              (7)

т. е. М і N ділять відповідні відрізки АА і ВВ в одному і тому ж проектному відношенні. Якщо в символах (ABCD) і (abcd) необхідно показати пряму про, на якій знаходяться точки А, В, С, D, а центр, з якого виходять промені є О, то пишуть

(O. ABCD) і (O. abcd)

Можна зобразити зв'язку (О. abcd) символом (O. AВCD), якщо Про є центр зв'язки, а А, В, С, D точки перетину зв'язки О, з прямою о.