Нескінченно віддалені елементи.

Нескінченно віддалені елементи. Стародавні геометри називали паралельними лініями на площині такі, які не зустрічаються, тобто не мають жодної спільної точки. В даний час таким прямим і площинам дають інше визначення, що випливає з перспективності основних форм, де одна форма розглядається як проекція або образ іншої.

Нехай AD буде пряма (рис.1) в одній площині з пучком О. abc ..., яка не проходить через центр пучка. Пряма АD, зустрічаючи промені a, b, c, .... пучка О. abc ..., дає ряд точок А, В, С, ... Якщо промінь а обертається навколо центру О в напрямку а, b, с, d ......

Рис.1.

то він зустрічає пряму AD в точках А, В, С,.... Які, віддаляючись все більше і більше, в певний момент, показуються з іншого боку прямої AD і знову повертаються в початкове положення А. Те розміщення точки, що віддаляється, в якому вона залишається початкове положення і є з протилежного боку, щоб знову наближатися до початкового стану А, називається нескінченно віддаленим положенням точки А, або нескінченно - вилучені крапки. На думку геометрів, в той момент, в який точка починає повертатися з протилежного боку, промінь а на якому знаходиться рухома точка А, не перетинає прямої AD - він їй паралельний, тому не можна сказати, що дві прямі, перебуваючи в одній площині , завжди перетинаються тобто мають загальною точку. Геометри теперішнього часу звільняють себе від цього надзвичайного стану прямої і приписують двом паралельним прямим спільну точку, що знаходиться на нескінченності − точку нескінченно-віддалену. В силу перспективи, пряма лінія має тільки одну нескінченно-віддалену точку; справді за Евклідом (Аксіома ХІ) через О точку поза прямою AD можна провести до неї тільки одну паралельну пряму а, отже їй можна присвоїти тільки одну загальну точку з AD, в силу того, що кожен з променів пучка О має тільки одну загальну точку з прямою AD. Такий принцип має важливу перевагу перед думкою древніх: воно узагальнює багато пропозицій, які без цього мали б виключення. До такого висновку веде і аналітична.

Ми прийшли до питання про нескінченно віддаленої точки на прямій, уявляючи, що точка рухається по прямій в ту або іншу сторону невизначено видаляється, отже, нескінченно віддалена точка знаходиться на прямій в обох її напрямках, внаслідок цього пряму необхідно розглядати як лінію замкнуту, кінці якої зустрічаються в нескінченно віддаленій точці. Отже, від однієї точки А на прямій до іншої В можна пройти і через нескінченно-віддалену точку. Таким чином дві точки А і В на прямій ділять її на два відрізки, один кінцевий АВ, а інший, що проходить через нескінченно-віддалену точку, називається додатковим.

З цього бачимо, що з чотирьох точок A, B, C, D на прямій о (рис.2) точки А і С, В і D розділені точками В і С, а точки А і D, В і С не розділені; від A до D можна пройти через нескінченно-віддалену точку.

Рис.2

Уявімо собі, що промінь а (рис. 3) обертається навколо точки О в напрямку a, b, c, ......

Дві будь-які пари Oa і Ob складають фігуру, яка називається кутом, обертаючись в зазначеному напрямку промінь Оа опише всю площину і повернеться в своє початкове положення Оа. Отже, цей рух подібний з рухом точки на прямій, яка описавши пряму через нескінченно-віддалену точку, повертається в своє початкове положення. Кут аОb відповідає відрізку АВ, додатковий кут до 4d відповідає додатковому відрізку, який проходить через нескінченно-віддалену точку. Таким чином бачимо повну відповідність між рядом і пучком.

Всі паралельні прямі, проведені на площині у відомому напрямку, мають одну спільну точку на нескінченності, в якій одна з прямих зустрічає всі інші, отже, паралельні прямі можна розглядати як пучок, центром якого є нескінченно-віддалена точка. Такий пучок будемо називати пучком паралельних променів. Пучок паралельних променів в просторі і пучок площин , які по них проходить, будемо називати в'язкою паралельних променів. Очевидно, фрази: паралельні прямі, які проходять через нескінченно-віддалену точку висловлюють одне і теж.

Нескінченно-віддалена пряма. Всі нескінченно віддалені точки на площині знаходяться на лінії, яка є прямою, так як кожна пряма на площині зустрічає цю лінію тільки в одній точці, тоді як криву лінію пряма зустрічає завжди в декількох точках. Такий принцип має ще іншу підставу, а саме: дві паралельні площини, пересічені третьою, дають дві паралельні прямі, які мають загальну нескінченно-віддалену точку, яка знаходиться на обох площинах − на їх перетині, яке є пряма лінія; отже, всі нескінченно-віддалені точки на площині знаходяться на нескінченно-віддаленій прямий.

Кажуть, що всі паралельні прямі мають один напрямок, a всі паралельні площини мають одне положення. У кожному напрямку є одна нескінченно-віддалена точка, а в кожному положені одна нескінченно-віддалена пряма. Так як паралельні площини перетинаються по одній нескінченно-віддаленій прямий, то систему паралельних площин можна розглядати як пучок площин, віссю якої є нескінченно-віддалена пряма.

Нескінченно-віддалена площина. Всі нескінченно-віддалені точки і прямі знаходяться на одній поверхні, яка є площиною. Справді, кожна пряма в просторі зустрічає нескінченно-віддалену поверхню тільки в одній точці нескінченно-віддаленій, а кожна площина зустрічає нескінченно-віддалену поверхню тільки по одній нескінченно-віддаленій прямій, і таку властивість має тільки одна площина.Ця нескінченно-віддалена площина належить всім в'язкам паралельних променів і всім пучкам паралельних площин. Отже, вона є загальний елемент всіх цих форм. Нескінченно-віддалена пряма не має напрямку, але вона містить всі напрямки тобто, на ній знаходяться всі нескінченно-віддалені точки всіх прямих на площині, вона належить як промінь, всім пучкам паралельних променів на площині і в'язок паралельних променів в просторі. Нескінченно-віддалена площина не має певного положення, але вона містити всі положення нескінченно-віддалених прямих.

Таким чином бачимо, що введення поняття про нескінченно-віддалені елементи: точки, прямі і площини, узагальнює геометричні пропозиції, виключаючи окремі випадки положення елементів, для яких стародавні геометри повинні були давати окремі доведення, щоб ця пропозиція мала місце взагалі.

Форми, віднесені один до одного. Кажуть що дві основні форми віднесені один до одного, коли кожному елементу однієї з них відповідає, в силу деякого закону, один з елементів іншої. Дві основні форми, віднесені до третьої, будуть, очевидно, віднесені і між собою; справді, кожному елементу третьої форми відповідає завжди один елемент кожної з двох інших форм, звідки випливає що два елементи двох останніх форм відповідно. Якщо дано кілька форм і при тому так, що перша віднесена до другої, друга до третьої і т.п.. То всі ці форми віднесені і між собою.

Щоб віднести один до одного дві форми найпростішим і зрозумілим чином, їх обидві виводять за допомогою проекції або перетину і беруть за відповідні елементи ті, які відбуваються один з іншого проекцією або перетином.

Так наприклад, якщо пучок променів О і ряд, знаходяться в одній площині, то можна віднести відповідно кожен промінь пучка до точки ряду, що лежить на промені. Променю паралельному прямий і буде відповідати точка на нескінченності на прямий а.

Якщо плоске поле ω є перетин в'язки О, то поле ω і пучок О віднесені один до одного так: кожному променю пучка відповідає точка плоского поля, що лежить на промені, а кожній площині в'язки відповідає пряма плоскоого поля, яка перебуває на ній. Кожному відрізку системи ω відповідає плоский кут в'язки О, кожному куту поля ω відповідає двогранний кут в'язки О. Площини α в'язки О, паралельній площині поля ω, відповідає пряма на нескінченності в площині ω, кожному променю в'язки О що знаходиться в цій площині відповідає точка на нескінченності в площині ω. Кожному пучку площин в'язки О відповідає пучок променів в полі ω, промені пучка поля ω робляться паралельними променями в тому випадку, коли вісь пучка площин в'язки О буде паралельна площині ω. Якщо в'язка Оскладається з паралельних променів, тобто, якщо центр в'язки О знаходиться на нескінченності, то очевидно променю в'язки, який знаходиться на нескінченності, відповідає нескінченно-віддалена точка в полі ω, нескінченно-віддаленій площині відповідає нескінченно-віддалена пряма в полі ω. Якщо поле ω знаходиться на нескінченності, a центр в'язки О є кінцева точка, то кожному променю О відповідає точка на нескінченності в ω, кожній площині в'язки О відповідає пряма на нескінченності в ω, кожному пучку променів в О відповідає ряд на нескінченності в ω, кожному пучку площин в О відповідає пучок прямих променів на нескінченності в ω.

Дві основні форми, що належать одному роду, можуть бути віднесені між собою дуже просто, відносячи кожну з них до третьої форми, що знаходиться в перспективі з двома даними, так наприклад, дві прямі, які перетинають пучок площин, дають два ряди точок, з яких відповідними точками будуть точки прямих, що лежать в одній і тій же площині. Якщо пучок площин перетнемо двома площинами, то отримаємо два пучка прямих, віднесені між собою, і відповідними променями пучків будуть промені, що знаходяться в одній площині і т. д.

Якщо дві в'язки О і О' віднесемо так, щоб відповідними променями були паралельні промені, то, очевидно, дві в'язки можна розглядати як проекції одного плоского нескінченно-віддаленого поля.

З цього бачимо що найпростіший спосіб, віднести одну форму до іншої − це перспективне перетворення тобто отримати одну форму з іншої послідовними перетинами і проекціями.