Розділ 2

ОСНОВНІ ЛІНІЇ КУРСУ ПРОЕКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

2.1. Означення елементів і основних форм першого порядку. Нескінченно віддалені елементи

Геометричні теореми поділяються на два роди: до одного з них належати теореми, які стосуються міри і розміщення, до іншого належати теореми, що відносяться тільки до розміщення. Якщо сторони двох трикутників, що лежать в одній площині, перетинаються попарно в трьох точках, що лежать на одній прямій, то прямі, що з'єднують їх відповідні вершини, перетинаються в одній точці; ця теорема належить до другого роду, тобто до теорем розміщення. Аналітична геометрія викладає властивості фігур в просторі, що відносяться як до міри, так і до розміщення і користується для цього методом координат (Декарта). Властивості фігур в просторі, що відносяться тільки до розміщення, викладаються методом проекції, який виключає міру. Перший з цих способів дослідження носить назву Аналітичної Геометрії, а інший Проективної . В аналітичній геометрії переважає алгебра, а ось в проективній − геометричні побудови. У складних формулах аналітичної геометрії часто приховані геометричні уявлення, і навпаки, в проективноій геометрії ці властивості завжди знаходяться перед очима.

Обидва ці методи, в принципі настільки різні, повинні доповнювати один одного і коли доведення одного з них робиться складним, то майже завжди за допомогою іншого простіше досягти мети.

Основними елементами Геометрії є точка, пряма і площина, де пряма і площина розглядаються як фігури безмежні. Геометричною фігурою називають взагалі систему точок, прямих і площин у просторі. Так наприклад, трикутник є система трьох точок або трьох прямих, тетраедр є система чотирьох площин, або чотирьох точок, або нарешті система шести прямих.

Надалі точки будемо позначати буквами А, В, С,. . . . прямі буквами а, b, с,. . , Площини літерами α, β, γ ....... Комбінації цих символів дають ті ж елементи: точки: ab, αβγ прямі АВ, αβ площині ABC, і т.д.

З основних елементів: точок, прямих і площин утворюються три роди основних елементарлних форм, дивлячись тому, чи буде число елементів (точок, прямих і площин) форми одного разу, двічі або тричі нескінченне число, т. Е. Визначається елемент форми одним, двома або трьома умовами. Всіх основних форм шість, з яких три належати першому, дві другого і одна третього роду.

Основні форми першою порядку.

1) Систему точок на одній прямій, будемо називати рядом і позначати символом: о. АВС. . . Пряму о, на якій розташований ряд, називають основою ряду, a кожну точку його елементом. Відрізком називається частина прямої між двома точками.

2) Система прямих, що проходять через одну точку, в одній площині, утворює другу форму першого порядку, яку називають пучком прямих і позначають символом О. abc. . . Точку перетин всіх прямих О називають ценмром або вузлом зв'язки, а прямі променями. Кожен промінь є елемент зв'язки.

3) Система площин, що перетинаються на одній прямій о, утворює третю форму першого порядку, яку називати пучок площин і зображують символом о. αβγ ... .. пряма о називається віссю пучка. Кожна площина є елемент пучка.

4) Система точок і прямих, що лежать в одній площині, утворюють четверту форму першого порядку, яку ще називають плоским полем; площину, на якій лежить система, називається носієм поля, а точки і прямі її елементами. Плоска система зображається символом α. АВС ...... abc. .

5) Система прямих і площин у просторі, що проходять через одну точку, утворює п'яту форму першого порядку, яку називають в'язкою. Точка, через яку проходять всі прямі і площини системи, називається центром в'язки, а прямі і площини елементами вязки. Кожна пряма в’язки називається променем, а кожна площина листом.

Проекція. Проектувати з даної точки О систему точок А, В, С,. . . і прямих a, b, с,. . . в просторі, значить побудувати промені ОА, OB, ОС, ... і площини Оa, Ob, Ос, . . . що дає в'язку, центр якої є О. Якщо цю в'язку перетнемо якою небудь площиною ω, то отримаємо плоске поле, яке є зображенням цього поля на площині, перетинаючи в'язку ще другою площиною π, знову отримаємо плоске поле, яке, як кажуть, є зображення іншого.

Перетин. Перетнути площиною систему прямих a, b, с, . .. . і площин α, β, γ, ... в просторі, значить побудувати точки αa, αb, αс ...... .. і прямі ωα, ωβ, ωγ .......

Проектувати з даної прямий о, прийнятої за вісь, систему точок в просторі А, В, С,. . . значить побудувати пучок площин, оА, оВ, оС, . . Перетнути прямою систему площин α, β, γ, .... значить побудувати ряд точок оα, оβ, оγ, ...

Залежність між основними формами. Кожну форму першого порядку можна отримати з будь-якої з поданих: ряд точок отримується перетином прямої з пучком прямих або з площинною, пучок прямих отримуємо проектуючи ряд точок на прямій о з якої небудь точки О поза нею, пучок площин отримуємо проектуючи з якої небудь прямої о ряд точок на прямій α, яка не перетинає пряму о, перетинаючи пучок площин площиною, що не проходять по осі пучка, отримаємо пучок прямих центр якого знаходиться на осі цього пучка площин, пучок площин отримається з пучка прямих, якщо побудуємо площини, які проходять через промені пучка прямих і прму, що проходить через її центр.

Плоске поле виходить з в'язки, перетинаючи її площиною, яка не проходить через центр в'язки, a в'язка отримується з плоского поля, проектуючи її з точки, яка лежить поза нею. Така залежність між основними формами першого порядку. Як бачимо, кожна з них може отриматися з будь-якою іншою проекцією, або перетином.

Перспективність форм. Якщо одна з форм виникнула з іншою проекцією або перетином, то кажуть, що ці форми перспективи або знаходяться в положенні перспективи: ряд, отримується з пучка прямих перетином, а пучок прямих з ряду проекцією, плоске поле виникає з в'язки перетином, a в'язка з плоского поля проекцією, ряд виникає з пучка площин перетином, а пучок площин з ряду проекцією і т. д. Отже, дві форми перспективні коли елементи однієї з них знаходяться на елементах іншої або проходять через елементи іншої. Якщо ряд і пучок перспективні, то промені пучка проходять через точки ряду, а точки ряду знаходяться на променях пучка. Якщо ряд і пучок площин в перспективі то точки ряду знаходяться на аркушах пучка, а листи пучка проходять через точки ряду. Якщо пучок площин в перспективі з пучком прямих, то промені пучка прямих знаходяться на аркушах пучка площин, а листи пучка площин проходять через промені пучка прямих. Якщо плоске поле в перспективі із в'язкою, то промені і пучки в'язок проходять через точки і прямі плоского поля, а точки і прямі плоского поля знаходяться на променях і листах в'язки. Елементи двох перспективних форм називаються відповідними, якщо знаходяться один на одному: точки ряду відповідають променям пучка прямих або площин, на яких вони знаходяться, точки і прямі плоского поля відповідають променям і листам в’язки на яких вони знаходяться і т. д.

Якщо дві форми одного роду походять з однієї форми іншого роду, два ряди з одного пучка прямих або площин, два пучки прямих або площин з одного ряду, два плоских поля з однієї в'язки, дві в'язки з одного плоского поля, то кажуть, що такі дві форми перспективні або говорять: одна форма є образ іншої. У таких перспективних формах відповідними елементами називають елементи двох форм, що знаходяться на одному елементі форми, з якої вони виникли: дві точки двох рядів, що знаходяться на промені пучка прямих або пучка площин, промені двох пучків прямих на аркуші пучка площин , точки двох плоских полів , які виникли з в'язки, що знаходяться на одному промені, і дві прямі плоских полів, що знаходиться на одному аркуші в'язки і т. д.