2. Системы счисления, переводы чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Система счисления (СС) – это совокупность правил записи и наименования чисел. Существуют позиционные и непозиционные СС.

СС называется позиционной (непозиционной), если значение цифры числа зависит (не зависит) от местоположения цифры в числе.

Непозиционная СС, например, римская:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000  XXVII, XLIV

Общепризнанной ПСС является 10-ая СС. Она использует для записи чисел цифры 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

727,7 – это сокращенная запись 7 *102+2*101 +7*100 +7*10^-1

В позиционной CC число разбивается на разряды слева направо, так что единица старшего разряда в определенное число раз больше единицы соседнего младшего разряда.

Основанием позиционной СС называется количество единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу соседнего старшего разряда.

Основание СС в любой ПСС записывается как 10 Примеры ПСС: 60ричная, 12-ричная, 5-ричная.

В ПСС с основанием Р>1 любое число может быть записано в двух формах:

1) сокращенной и 2) в виде многочлена.

1. Х = an an-1 an-2 an-3 … a1 a0, a-1 a-2 … a-m

Значением числа является сумма значений его цифр.

2. X = an*pn+an-1*pn-1 +an-2*pn-2+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m

Здесь p – основание СС, 0 <= a_i <=P^-1 – называют базисными цифрами данной СС. Количество базисных цифр равно основанию СС. В информатике часто используются 2ая, 8ая и 16ая СС.

В двоичной СС наименьшее количество базисных цифр и для представления их в компьютере используются элементы, имеющие два устойчивых состояния. Кроме того, в 2ой СС наиболее простой оказывается арифметика:

Сложение Умножение

1. + 0 = 0 0 * 0 = 0

1. + 1 = 1 1 * 0 = 0

2. + 0 = 1 0 * 1 = 0

2. + 1 = 10 1 * 1 = 1

Чтобы перевести число из «чужой» СС в «свою», необходимо:

1. представить данное число в виде многочлена;

2. базисные цифры и основание Q-ичной СС записать с помощью P-ичных чисел;

3. выполнить арифметические действия.

Примеры:

1. (125,2)₈  10 = 1*10² +2*10¹ +5*10⁰ + 2*10^-1 = 1*8² +2*8¹ +5*8⁰ +2*8^-1 = 64 + 16 + 5 +0,25 = (85,25)₁₀

2. Переводы чисел из одной ПСС в другую. Схема Горнера:

(101,01)₂  10 = 1*10² +0*10¹ +1*10⁰ + 0*10^-1 +1*10^-2 = 1*2² +0*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1 +1*2^-2 = 4 + 1 + 0,25 = (5,25)₁₀ ;

3. (AB1)₁₆  10 = A*10² +B*10¹ +1*10⁰ = 10*16² + 11*16¹ + 1* 16⁰ = 2560 + 176 + 1=

= (2737)₁₀.

Для перевода целых чисел из любой системы в 10ую удобно использовать схему Горнера, согласно которой:

an*pn+an-1*pn-1+an-2*pn-2+…+a1*p1+a0*p0 = = ((…(a_n*P + a_n-1)*P + a_n-2)*P +…+a₁)*P + a₀ Например:

(1321)₈  10 = ((1*8 + 3)*8 + 2)*8 + 1 = (721)₁₀

(1234)₈  10 = ((1*8 + 2)*8 + 3)*8 + 4 = (668)₁₀

Смешанные СС

Смешанная Q-P-ичная СС - это СС, в которой каждая цифра P-ичного числа записывается с помощью n Q-ичных цифр, где n - это количество Q-ичных цифр, достаточных для хранения старшей Р-ичной цифры.

Например, число 2410 в 2-10-й СС равно 0010 0100 2-10.

Переводы чисел для СС, связанных соотношением P = Qⁿ.

1. Перевод из P в Q. Чтобы перевести число из СС с основанием P в СС с основанием Q, достаточно каждую цифру данного числа записать с помощью n Q-ичных разрядов, используя таблицу представления базисных цифр Переводы чисел для СС, связанных соотношением P = Qⁿ. Числа с фиксированной и плавающей точкой:

2. Перевод из Q в P. Чтобы перевести число из СС с основанием Q в СС с основанием P, достаточно данное число разбить влево и вправо от запятой на группы по n разрядов, неполные крайние группы можно дополнить нулями. Затем каждую такую группу записать с помощью одной P-ичной цифры.

Примеры:

(1BF9,51)₁₆  2  8 = (0001 1011 1111 1001, 0101 0001)₂ = (15771,242)₈

(7541,23)₈  2  16 = (111 101 100 001,010 011)₂ = (F61,4C)₁₆ Числа с фиксированной и плавающей точкой. X = знак (a_n a_n-1 a_n-2…a₀ a_-1 a_-2…a_-m)_p – это запись числа с фиксированной точкой.

Записываем в виде многочлена:

Х = знак (an*Pn + an-1*Pn-1 + an-2*Pn-2 +…+a0*P0 + a-1*P-1 + a-2*P-2 +…+ a-m*P-m)P

Вынесем за скобку в качестве множителя P^k и свернем, получим число в форме с плавающей точкой.

Числа с фиксированной и плавающей точкой. Нормализованные числа.

Х = знак (an*Pn-k + an-1*Pn-1-k + an-2*Pn-2-k +…+ a0*P-k + ak-1*P-1 + ak-2*P-2 +…+ a-m*P-m-k)*Pk

1. X = знак (an an-1 an-2…ak, ak-1 ak-2…a-m)*Pk или

2. X = знак |M| * Р^{знак |n|}

Число с плавающей точкой называется нормализованным числом, если в записи 1) k = n+1 и a_n <> 0, или в записи 2) мантисса M удовлетворяет условию 1/P <= |M| < 1.

Например: 3.1415926

0.0031415926*10³

314.15926*10^-2

0.31415926

Арифметические действия над числами с плавающей точкой.

1. M₁*2p₁ + M₂ *2p₂ = M*2p, если P₁ > P₂, то вычисляется P₁ - P₂, M₂ сдвигается на (P₁ - P₂) разрядов вправо и мантиссы складываются, результат нормализуется, так что порядок суммы чисел P = P₁ + P/, где P/ учет нормализации мантиссы результата суммирования.

2. Вычитание сводится к сложению

3. Умножение: M = M₁*M₂ и P = P₁+P₂+P/

4. Деление: M = M₁/M² и P = P₁–P₂+P/

Нетрадиционные позиционные системы счисления ПСС делят на традиционные, нетрадиционные и смешанные. Все ПСС одинаковы в том смысле, что:

1) Арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам; 2) Справедливы одни и те же законы арифметики ..

3) Правила выполнения арифметических действий опираются на таблицы сложения и умножения в P-ичной СС.

Для традиционных ПСС вводится понятие базис и основание СС так, что базис – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по ее месту в записи, т.е.

задает вес каждого разряда. Тогда, базис 10-ой СС – это 1, 10¹, 10², 10³, 10⁴…10ⁿ, а в общем виде:

…p^-2, p^-1, 1, p, p² p³…pⁿ

Знаменатель P геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной СС, является основанием СС.

Нетрадиционные позиционные системы счисления. Факториальная ПСС.

В традиционных ПСС вес единиц разрядов числа растет справа налево равномерно в P раз, где P – основание СС. В нетрадиционных ПСС вес единиц разрядов в числе также растет, но не равномерно, а по какому-либо другому закону. Например, число, записанное в факториальной ПСС имеет значение в 10-ой СС, равное сумме факториалов n первых натуральных чисел, умноженных на цифры факториальной записи числа.

3221_ф = 3*4! + 2*3! + 2*2! + 1*1! = 8910

40301_ф = 4*5! + 3*3! + 1*1! = 49910

Чтобы перевести число из 10-ой СС в факториальную, необходимо разделить данное число на 2, затем целую часть разделить на 3, затем на 4 и т. д. пока целая часть не окажется равной нулю.

3. Понятие подпрограммы, функции, возвращающие значения в С/С++, описание и использование

Подпрограмма – отдельная структурная единица, имеющая собственное имя и реализующая вспомогательный алгоритм, который неоднократно используется в основной программе или другой подпрограмме с различными значениями некоторых величин, называемых параметрами.

Для того чтобы использовать подпрограмму, ее необходимо описать, а затем в нужном месте основной программы или другой подпрограммы обратиться к ней с конкретными значениями параметров.

Описать подпрограмму – значит выбрать для нее имя, определить величины, от которых будет зависеть вычисление подпрограммы в различных точках обращения и записать последовательность операторов, реализующих вспомогательный алгоритм.

Достоинства использования подпрограмм:

Позволяет избегать дублирования одинаковых частей программы, делая ее короче, но увеличивая время ее выполнения (за счет передачи параметров, обращения к подпрограмме, возврату из нее);

Делает структуру программы более четкой и понятной (основная программа записана более кратко, использование подпрограммы более эффективно с точки зрения разработки, отладки, модификации программы). Отдельные подпрограммы, модули, можно хранить в отдельных файлах, т.е. отдельно друг от друга.

Позволяет расширить язык программирования, добавив в него новые функции, операции и операторы-процедуры. Для любого языка программирования создана большая библиотека стандартных подпрограмм и программист, разрабатывая сложный программный продукт, создает, по сути, собственную библиотеку подпрограмм, которые затем можно использовать для разработки других проектов. Позволяет повторно использовать ранее разработанные программы.

В С/С++ существует один тип подпрограмм – функции. Но функции здесь реализуются так, что они могут выдавать один результат и тогда обращением к ним является указатель функции (имя функции, за которым в () через запятую фактические параметры). В этом случае указатель функции – операнд в выражении или элемент списка вывода.