2.2 Математическая модель платформы

Платформа представляет собой жесткую металлоконструкцию, которая также жестко соединена с гидравлическими аутригерами. При описании математической модели платформы строительной машины были приняты следующие допущения:

• конструкция платформы не деформируется и не меняет своих геометрических размеров в процессе работы строительной машины;

• соединение аутригера с платформой не имеет люфтов.

На рисунке 2.2 приведена расчетная схема для определения изменения угла наклона платформы к горизонту в зависимости от длин аутригеров. AB – расстояние между диагональными аутригерами платформы; AD и BC – длины диагональных аутригеров.

Моделируется ситуация провала опоры AD. Опора принимает положение A'D', а диагональ платформы – положение A'B. Отрезок AB находится в горизонтальном положении, затем платформа получает крен, отрезок AB наклоняется к горизонту на угол α и занимает положение A'B.

Для устранения угла наклона α необходимо компенсировать провал опоры, для этого необходимо определить величину провала DD':

(2.1)

Из формулы (3.24) может быть получено значение угла α:

. (2.2)

Рисунок 2.2 ‒ Расчетная схема для определения положения платформы строительной машины

2.3 Математическая модель исполнительной части устройства управления платформой

Одной из важнейших составляющих математической модели является электрогидравлический привод аутригеров платформы, осуществляющий ее перемещение относительно поверхности места установки и соответственно изменяющий угол наклона платформы к горизонту. Статические и динамические характеристики гидропривода влияют на процесс управления положением платформы и должны быть учтены при моделировании системы управления [26].

Основные элементы гидропривода строительной машины в настоящее время достаточно хорошо изучены и в зависимости от решаемых задач математически описаны с теми или иными допущениями [2].

Базовые элементы гидропривода описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, начальными и граничными условиями, уравнениями существенных нелинейностей, алгебраическими уравнениями связи, наложенными на систему. Уравнения составлены таким образом, чтобы в результате решения получить значения переменных (давлений, расходов, перемещений и т.д.) на входе и выходе.

Для составления расчетной схемы гидросистемы управления целесообразно рассмотреть гидравлическую схему, которая представлена на рисунок 2.3. Гидросистема управления состоит из шестеренного насоса постоянной подачи 1, блока четырехсекционного трехпозиционного электрогидрораспределителя 2 (каждый блок на схеме обозначен соответствующей буквой а, б, в, г), четырех исполнительных гидроцилиндров 3 (каждый гидроцилиндр на схеме обозначен соответствующей буквой а, б, в, г, каждый гидроцилиндр снабжен встроенным гидрозамком), фильтра 4, гидробака 5. Также в систему включен предохранительный клапан 6. Все элементы имеют гидравлические соединения.

Работа гидропривода устройства управления осуществляется следующим образом. В нейтральном положении всех секций распределителя 2 поток рабочей жидкости от питающего насоса 1 поступает в гидробак через сливную магистраль с установленным на ней фильтром 5. При подаче сигнала напряжения на одну из секций электрогидрораспределителя происходит перенаправление потока жидкости в одну из рабочих полостей соответствующего гидроцилиндра. В зависимости от полярности сигнала, подаваемого на электрогидрораспределитель 2, происходит выдвижение или втягивание штока гидроцилиндра 3.

Встроенные гидрозамки служат для предотвращения аварийной ситуации при возникновении утечек в гидролиниях. Предохранительный клапан 6 служит для предотвращения аварийной ситуации, связанной с избыточным давлением в гидросистеме, при возникновении неисправности в гидрораспределительном блоке.

На основе рассмотренной гидравлической схемы составлена расчетная схема, которая приведена на рисунке 2.4. Т.к. всю гидросхему, представленную на рисунке 2.3, можно условно разделить на четыре одинаковых контура, каждый из которых управляет отдельным гидроцилиндром, то расчетная схема представлена для одного из контуров.

Рисунок 2.3 ‒ Схема гидропривода устройства

управления положением платформы

На схеме (рисунок 2.4) приняты следующие обозначения: Q_н – подача на выходе из питающего насоса и на входе в гидролинию, соединяющую насос с гидрораспределителем; Q_лин – расход на выходе из гидролинии и на входе в гидрораспределитель; Q_распр – расход на выходе из гидрораспределителя и на входе в гидролинию; Q_цил – расход на выходе из гидролинии и на входе в гидроцилиндр; Q_цс – расход на выходе из гидроцилиндра и на входе в гидролинию; Q_лс – расход на выходе из сливной гидролинии цилиндра и на входе в сливную линию распределителя; Q_c – расход на выходе из сливной линии распределителя и на входе в сливную линию гидробака; R_цил – усилие, приложенное к штоку исполнительного гидроцилиндра, обусловленное силами сопротивления подъему массы платформы; x_цил – перемещение штока исполнительного гидроцилиндра; p_н – давление питающего насоса;

Рисунок 2.4 ‒ Расчетная схема гидропривода устройства

управления положением платформы

p_лин – давление на входе в гидрораспределитель и на выходе из гидролинии; p_расп – давление на входе в гидролинию и на выходе из гидрораспределителя; p_цил – давление на входе в исполнительный гидроцилиндр и на выходе из гидролинии; p_цс – давление на входе в сливную гидролинию цилиндра и на выходе из гидроцилиндра; p_лс – давление на выходе из сливной гидролинии цилиндра и на входе в сливную линию распределителя; p_c – давление на выходе из сливной линии распределителя и на входе в сливную линию гидробака.

Рисунок 2.5 ‒ Блок-схема гидропривода устройства управления положением платформы строительной машины

На основе расчетной схемы была сформирована блок-схема гидросистемы. Блок-схема представляет собой совокупность блоков и связей, которые соответствуют элементам и связям расчетной схемы. Каждый блок представляет собой подсистему или элемент гидросхемы управления платформой, который содержит в себе структурную схему элемента, выполненную на основе дифференциальных уравнений, описывающих этот элемент [15].

В предлагаемой блок-схеме каждый блок представляет собой гидравлический многополюсник или многомерный динамический объект, поэтому блоки будут иметь несколько присоединительных гидравлических или механических портов, соответствующих входным, выходным, управляющим или возмущающим воздействиям.

Блок-схема гидравлической системы управления положением платформы строительной машины представлена на рисунке 2.5, где i_расп – ток управления, подаваемый на электромагнитный блок управления гидрораспределителем. Элементами схемы являются: гидронасос, гидролинии, электрогидравлический распределитель и гидроцилиндр.

Рассмотрим математическое описание отдельных элементов гидросистемы управления положением платформы строительной машины. Необходимо отметить, что в предлагаемой работе математическая модель гидронасоса не рассматривается, поскольку насос является лишь идеальным источником энергии, достаточно мощным, чтобы обеспечить требуемую подачу рабочей жидкости в гидросистему независимо от перепада давлений в насосе. Для строительных машин характерны относительно небольшие длины гидролиний (менее 5м), сравнительно невысокое быстродействие распределительной аппаратуры и невысокие рабочие давления (не превышающие 32 МПа). Это позволяет представить их математическими моделями с сосредоточенными параметрами [2].

Гидролиния, соединяющая гидронасос с распределителем, представлена уравнениями [1, 2, 15, 26]:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

где Q_н, Q_лин – расходы рабочей жидкости соответственно на входе и выходе из насосной гидролинии; k_л – коэффициент упругости гидролинии; d_л – диаметр насосной гидролинии; L_л – длина насосной гидролинии; E_ж – объемный модуль упругости рабочей жидкости; E_л – модуль упругости материала стенки насосной гидролинии; δ_л – толщина стенки насосной гидролинии; р_л, р_н – давление соответственно на входе и выходе из насосной гидролинии; λ_л – коэффициент потерь давления по длине насосной гидролинии; ρ_ж – плотность рабочей жидкости; Re_л – число Рейнольдса потока насосной гидролинии; ν_ж – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Гидролиния, соединяющая распределитель с гидроцилиндром, представлена уравнениями [1, 2, 15, 26]:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

где Q_расп, Q_цил – расходы рабочей жидкости соответственно на входе и выходе из гидролинии распределителя; k_лин – коэффициент упругости гидролинии; d_лин – диаметр гидролинии распределителя; L_лин – длина гидролинии распределителя; E_лин – модуль упругости материала стенки гидролинии распределителя; δ_лин – толщина стенки гидролинии распределителя; р_цил, р_расп – давление соответственно на выходе и входе гидролинии распределителя; λ_лин – коэффициент потерь давления по длине гидролинии распределителя; ρ_ж – плотность рабочей жидкости; Re_лин – число Рейнольдса потока гидролинии распределителя.

Гидролиния, соединяющая гидроцилиндр со сливной магистралью распределителя, представлена уравнениями [1, 2, 15, 26]:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

где Q_цс, Q_лс – расходы рабочей жидкости соответственно на входе и выходе сливной гидролинии; k_сл – коэффициент упругости гидролинии; d_сл – диаметр сливной гидролинии распределителя; L_сл – длина сливной гидролинии; E_сл – модуль упругости материала стенки сливной гидролинии; δ_сл – толщина стенки сливной гидролинии; р_лс, р_цс – давление соответственно на выходе и входе сливной гидролинии; λ_сл – коэффициент потерь давления по длине сливной гидролинии; ρ_ж – плотность рабочей жидкости; Re_сл – число Рейнольдса потока сливной гидролинии.

Рисунок 2.6 ‒ Структурная схема насосной гидролинии

Уравнения (2.3) – (2.7) позволяют представить насосную гидролинию в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.6. Значения коэффициентов передачи этой структурной схемы:

(2.18)

. (2.19)

Рисунок 2.7 ‒ Структурная схема распределительной гидролинии

Уравнения (2.8) – (2.12) позволяют представить распределительную гидролинию в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.7. Значения коэффициентов передачи этой структурной схемы:

(2.20)

. (2.21)

Рисунок 2.8 ‒ Структурная схема сливной гидролинии

Уравнения (2.13) – (2.17) позволяют представить сливную гидролинию в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.8. Значения коэффициентов передачи этой структурной схемы:

(2.22)

(2.23)

Сила, действующая на опору, приведена к штоку гидроцилиндра, она вызывает изменение давления в напорной линии гидроцилиндра [1, 2, 15, 26]:

(2.24)

где p_цил – давление рабочей жидкости в напорной линии гидроцилиндра; p_цс – давление рабочей жидкости в сливной линии гидроцилиндра; d_ц, d_ш – диаметры соответственно внутренний и штока гидроцилиндра; m_ц – подвижная масса, приведенная к штоку; V_цил – скорость движения штока гидроцилиндра; k_ц – коэффициент вязкого трения в гидроцилиндре; x_зол – положение золотника распределителя; x_зол1, x_зол2 – границы зоны нечувствительности распределителя соответственно на выдвижение и втягивание штока.

Давление в сливной гидролинии гидроцилиндра открытой гидросистемы определяется расходом жидкости и площадью проходного сечения местного сопротивления. Поскольку значения давлений в сливной гидролинии сравнительно малы, сжимаемостью жидкости можно пренебречь [1, 2, 15, 26]:

(2.25)

где Q_цс – расход рабочей жидкости через сливную полость гидроцилиндра.

Скорость движения штока гидроцилиндра зависит от расхода и сжимаемости жидкости, а также упругости стенок гидроцилиндра [1, 2, 15, 26]:

(2.26)

где k_п, k_ш – коэффициенты, характеризующие упругие свойства соответственно поршневой и штоковой полостей гидроцилиндра.

(2.27)

где V_п – «мертвый» объем поршневой полости гидроцилиндра; S’_ш – ход штока гидроцилиндра; _ц – толщина стенки гидроцилиндра; Е_ц – модуль упругости материала стенки гидроцилиндра.

(2.28)

где V_ш – «мертвый» объем штоковой полости гидроцилиндра; S’_{ш max} – длина штока гидроцилиндра.

Знак скорости движения штока гидроцилиндра при его выдвижении положителен, что соответствует выдвижению опоры. При втягивании штока знак скорости отрицателен, что соответствует поднятию опоры. Уравнения (2.24) – (2.28) позволяют представить гидроцилиндр в виде структурной схемы. Структурная схема гидроцилиндра представлена на рисунке 2.9. Значения коэффициентов передачи:

(2.29)

(2.30)

(2.31)

. ^(2.32)

Рисунок 2.9 ‒ Структурная схема гидроцилиндра

Структурная схема гидроцилиндра состоит из двух частей: верхняя соответствует выдвижению штока гидроцилиндра при x_зол > x_зол1, а нижняя часть соответствует втягиванию штока гидроцилиндра при x_зол < x_зол2. Переключение ветвей структурной схемы осуществляется сигналом управления x_упр:

(2.33)

На рисунке 2.10 представлена зависимость перемещения золотника от сигнала управления x_упр гидрораспределителем.

Рисунок 2.10 ‒ Сигнал управления переключением

линии структурной схемы гидроцилиндра

Электрогидравлические распределители достаточно хорошо изучены и имеют различные математические модели, которые зависят от принятых при их описании допущений [1, 2, 15, 26].

Принятые в работе допущения позволяют принять динамическую модель электрогидравлического распределителя, предложенную в работах [1, 2, 15, 26]:

(2.34)

где c₁ – линеаризованный коэффициент пропорциональности между током в обмотках электромагнита и силой тяги электромагнита; с₂ – коэффициент вязкого трения в золотнике; с₃ – коэффициент упругой деформации пружин, удерживающих золотник в нейтральном положении; m_зол – масса сердечника электромагнита и золотника.

. (2.35)

Передаточная функция электрогидравлического распределителя с учетом запаздывания [1, 2, 15, 26]:

(2.36)

где k₁ – коэффициент усиления; Т_зол1 и Т_зол2 – постоянные времени; _зол – время запаздывания электрогидравлического распределителя.

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Гидрораспределитель представляет собой сочетание местных сопротивлений, образованных каналами золотника. Математическое описание гидрораспределителя сводится к рассмотрению двух расчетных положений, отражающих процесс втягивания и выдвижения штока. Уравнение расходов и давлений для открытых гидросистем [1, 2, 15, 26]:

(2.40)

где Q_б – расход рабочей жидкости через гидролинию разгрузки насоса; μ_б – коэффициент расхода в гидролинии разгрузки насоса; f_б – площадь проходного сечения местных сопротивлений в гидролинии разгрузки насоса.

На рисунке 2.11 представлены расчетные положения гидрораспределителя, соответствующие втягиванию и выдвижению штока гидроцилиндра.

(2.41)

(2.42)

где р_pасп – перепад давления на выходе из гидрораспределителя.

(2.43)

где μ_лн – коэффициент расхода на входе в гидрораспределитель; f_лн – площадь проходного сечения местных сопротивлений в напорном канале гидрораспределителя.

Давление в сливном канале гидрораспределителя открытой гидросистемы определяется расходом жидкости и площадью проходного сечения местного сопротивления [1, 2, 15, 26]:

(2.44)

где Q_с – расход рабочей жидкости через сливной канал гидрораспределителя; μ_лс – коэффициент расхода в сливном канале гидрораспределителя; f_лс – площадь проходного сечения местных сопротивлений в сливном канале гидрораспределителя;

(2.45)

где р_лс – перепад давления на выходе из гидрораспределителя;

(2.46)

где μ_лс – коэффициент расхода на выходе из гидрораспределителя.

Площади проходных сечений каналов золотника зависят от положения золотников и представлены трапецеидальными зависимостями на рисунке 2.12.

Рисунок 2.11 ‒ Расчетные положения гидрораспределителя, соответствующие: а – выдвижению штока гидроцилиндра; б – втягиванию штока

Рисунок 2.12 ‒ Площади проходных сечений каналов золотника, соответствующие: а – напорному каналу; б – сливному каналу; в – перепускному каналу

Рисунок 2.13 ‒ Структурная схема электрогидравлического распределителя

Выражения (2.33) – (2.46) и представленные на рисунке 2.12 графические зависимости площадей проходных сечений каналов золотника от перемещения золотника позволяют составить структурную схему электрогидравлического распределителя, представленную на рисунке 2.13.

Коэффициенты структурной схемы:

^(2.47)

^(2.48)

^(2.49)

^(2.50)

Рисунок 2.14 ‒ Структурная схема гидропривода одной из опор платформы

Полное математическое описание гидравлического привода системы управления отдельной опорой платформы представлено на рисунке 2.14. Оно представляет собой совокупность математических моделей его отдельных элементов. Математическая модель позволяет учесть влияние динамических свойств гидравлического привода при исследовании устройства управления платформой.

Вся гидравлическая система состоит из четырех подсистем, представленных на рисунке 2.14.