2. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , .

3. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , .

4. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , , ,…, .

5. Получить следствие, что число трансцендентно.

6. Доказать, что иррационально любое действительное число , имеющее вид

,

где – любая последовательность рациональных чисел, такая, что

, .

Тема 6. Обобщения производной

Теоретические сведения

Пусть функция определена в промежутке и – внутренняя точка этого промежутка; -обобщенной производной функции в точке назовем предел

.

Пример 1. -обобщенная производная постоянной функции равна нулю: . -обобщенная производная функции равна ей самой, т.е. , поскольку согласно правилу Лопиталя

.

-обобщенная производная логарифмической функции постоянна: . Действительно,

.

Пусть функция определена в промежутке и – внутренняя точка этого промежутка; -обобщенной производной функции в точке назовем предел

.

Пример 2. -обобщенная производная постоянной функции равна нулю: . Для функции имеем , так как

.

-обобщенная производная обратной функции постоянна: . Действительно,

.

Пусть функция определена в промежутке и – внутренняя точка этого промежутка. -обобщенной производной функции в точке назовем предел

.

Пример 3. -обобщенная производная постоянной функции равна нулю: Для линейной функции имеем , так как

согласно эквивалентности при .

Обобщенная производная арктангенса постоянна: . В самом деле,

.

Задания

1. Составить таблицу -обобщенных производных.

2. Показать, что обобщенная производная (по абсолютной величине) равна расстоянию от точки до точки пересечения касательной к кривой в точке с осью .

3. Выяснить геометрический смысл -обобщенной производной. Для этого рассмотреть семейство логарифмических кривых вида , проходящих через точку , и выделить ту из них, которая имеет наилучшую степень приближения к кривой в окрестности точки . Тогда .

4. Составить таблицу -обобщенных производных.

5. Выяснить геометрический смысл -обобщенной производной. Для этого рассмотреть семейство гипербол вида , проходящих через точку , и выделить ту из них, которая имеет наилучшую степень приближения к кривой . Тогда .

6. Составить полную таблицу -обобщенных производных.

7. Выяснить геометрический смысл обобщенной производной. Для этого рассмотреть семейство кривых вида

,

проходящих через точку , и выделить ту из них, которая имеет наилучшую степень приближения к кривой . Тогда .

Тема 7. Обобщенный дифференциал функции

Теоретические сведения

Если приращение функции можно представить в виде

,

где – бесконечно малая при ,то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 1. Найти приближенное значение , пользуясь таблицами логарифмов.

Пользуясь таблицей -обобщенных производных, находим . Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

.

Применение другой известной приближенной формулы

дает следующий результат: .

Для сравнения приведем точное значение корня с четырьмя знаками после запятой:

Если приращение функции можно представить в виде

,

где при , то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 2. Используя -обобщенный дифференциал, найти приближенное значение .

С помощью таблицы -обобщенных производных находим . Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

Если приращение функции можно представить в виде

,

где при , то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 3. Используя -обобщенный дифференциал, вычислить приближенно .

С помощью таблицы -обобщенных производных находим

.

Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

.

Отметим, что полученное значение менее точно, чем в предыдущем примере.

Приведенные примеры показывают, что рассмотренные обобщения дифференциала могут быть полезны в приближенных вычислениях.

Задания

1. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

2. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

3. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

4. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.

5. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

6. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

7. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

8. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.

9. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

10. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

11. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

12. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.