15. Двоїстий симплексний метод

Для знаходження розв’язку однієї з спряжених задач не обов’язково переходити до двоїстої задачі. Легко помітити, що звичайна симплексна таблиця в стовпчиках містить початкову задачу, а в рядках – двоїсту. Оцінками плану прямої задачі є рядок ( ), а оцінками плану двоїстої – стовпчик з компонентами вектора вільних членів системи обмежень В. Отже, розв’язуючи пряму задачу, симплексний метод дає змогу одночасно знаходити і розв’язок двоїстої задачі. Однак двоїсту задачу можна також розв’язати за таблицею якій маємо отримати розв’язок початкової. Такий спосіб розв’язання ЗЛП має назву двоїстого симплексного методу.

Нехай необхідно розв’язати задачу лінійного програмування, подану в канонічному виді:

, (4.12)

, (4.13)

. (4.14)

Тоді двоїстою до неї буде така задача:

(4.15)

. (4.16)

За алгоритмом двоїстого симплексного методу як перший опор­ний план вибирається деякий допустимий розв’язок двоїстої задачі (іноді в літературі його називають «псевдопланом») і зберігається його допустимість для двоїстої задачі упродовж всіх кроків.

Алгоритм двоїстого симплексного методу:

1. Необхідно звести всі обмеження задачі до виду «», ввести додаткові невід’ємні змінні, визначити початковий базис та перший опорний псевдоплан .

2. Якщо всі оцінки векторів і компоненти вектора-стовпчика В для всіх , то задача розв’язана. Інакше необхідно вибрати найбільшу за модулем компоненту і відповідну змінну виключити з базису.

3. Якщо в l-му рядку, що відповідає змінній , не міститься жодного , то цільова функція двоїстої задачі необмежена на багатограннику розв’язків, а початкова задача розв’язку не має. Інакше існують деякі і тоді для відповідних стовпчиків визначають аналогічно прямому симплекс-методу оцінки :

( ),

що дає змогу вибрати вектор, який буде включено в базис.

4. Виконавши крок методу повних виключень Жордана–Гаусса, переходять до наступної симплексної таблиці (Переходять до пункту 2).

Приклад 1. Знайти мінімальне значення функції

. .

Базис	Сбаз	bi	2	1	5	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5
x4 x5	0 0	4 – 5	1 –1	1 5	–1 –1	1 0	0 1
j		0	–2	–1	–5	0	0
j/alj			2	––	5	––	––
х4 х1	0 2	–1 5	0 1	6 –5	–2 1	1 0	1 –1
j		10	0	–11	–3	0	–2
j/alj			––	––	7/2	––	––
x3 x1	5 2	1/2 9/2	0 1	–3 –2	1 0	–1/2 1/2	–1/2 –1/2
j		–23/2	0	–20	0	–3/2	–7/2

план початкової задачі:

,

та оптимальний план двоїстої задачі:

, .