11. Метод штучного базису

Раніше розглядався випадок, коли система обмежень ЗЛП містила одиничну матрицю порядку m. Проте більшість задач не можна звести до потрібного вигляду. В такому разі застосовується метод штучного базису.Розглянемо задачу лінійного програмування:

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Система обмежень (3.19) не містить одиничної матриці. Отримати її можна, якщо до кожного рівняння в системі обмежень задачі додати одну змінну , які називають штуч­ними. Допустимо, що (3.19) не містить жодного 1го вектора, тоді штучну змінну вводять у кожне рівняння:

(3.21)

У результаті область допустимих розв’язків задачі розширилась. Задачу з системою обмежень (3.21) називають розширеною, або М-задачею. Розв’язок такої задачі збігатиметься з розв’язком початкової лише за умови, що всі введені штучні змінні в оптимальному плані =0. Тоді система обмежень (3.21) набуде вигляду (3.19) (не міститиме штучних змінних), а розв’язок розширеної задачі буде розв’язком і задачі (3.18)–(3.20).

Згідно з симплексним методом до базису вводять змінні, які покращують значення цільової функції. Для задачі на максимум вони мають його ↑. Отже потрібно ввести штучні змінні у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами. Тобто цільова функція набуде вигляду:

(У разі розв’язання задачі на відшукання мінімального ).

Величина М є досить великим числом. Тоді якого б малого значення не набувала штучна змінна , значення буде - для задачі на макс та + для задачі на мін. Тому процедура симплексного методу забезпечує знаходження плану, в якому всі штучні змінні . Якщо в оптимальному плані , то початкова задача не має розв’язку, Взаємозв’язок між розв’язками початкової та розширеної ЗЛП визначається такою теоремою.

Теорема 3.3. Якщо в оптимальному плані розширеної задачі штучні змінні , то план є оптимальним планом початкової задачі.

Алгоритм розв’язування задачі лінійного програмування симплекс-методом:

1. Визначення початкового опорного плану ЗЛП

2. Побудова симплексної таблиці.

3. Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою оцінок . Якщо всі оцінки задовольняють умову оптимальності, то визначений опорний план є оптимальним планом задачі. Якщо хоча б одна з оцінок не задовольняє умову оптимальності, то переходять до нового опорного плану або встановлюють, що оптимального плану задачі не існує.

4. Перехід до нового опорного плану задачі здійснюється визначенням розв’язувального елемента та розрахунками елементів нової симплексної таблиці.

5. Повторення дій, починаючи з п. 3.

Далі ітераційний процес повторюють, доки не буде визначено оптимальний план задачі.

12. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування

Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею. Економічну інтерпретацію кожної з пари таких задач розглянемо на прикладі виробничої задачі.

Пряма задача: max F = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n (4.1)

за умов: (4.2)

. (4.3)

Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j-го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів – ; норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції – , а також – ціни реалізації одиниці j-ої продукції.

Задача з іншого погляду. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку , що – ціна одиниці і-го ресурсу.

На виготовлення одиниці j-го виду продукції витрачається згід­но з моделлю (4.1)–(4.3) m видів ресурсів у кількості відповідно . Загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j-го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:

.

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:

.

Зрозуміло, що покупці ресурсів прагнуть здійснити операцію якнайдешевше, отже, необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

.

Отже, в результаті маємо двоїсту задачу:

(4.4)

за умов: (4.5)

(4.6)

Тобто необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і-го виду ресурсу , щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

Зауважимо, що справжній зміст величин – умовні ціни, що виражають рівень «цінності» відповідного ресурсу для даного виробництва.

Задача (4.4)–(4.6) є двоїстою або спряженою до задачі (4.1)–(4.3), яку називають прямою (основною, початковою). Поняття двоїстості є взаємним. По суті мова йде про одну і ту ж задачу, але з різних поглядів.