10. Розв’язування задачі лінійного програмування симплексним методом

При відшуканні розв’язків ЗЛП вручну усі обчислення зручно проводити в симплексній таблиці

Після заповнення табл.  розраховують значення оцінок плану (останній рядок): . Потім згідно з умовою оптимальності плану задачі лінійного програмування, якщо всі (для задачі на максимум), то план є оптимальним. Допустимо, що одна з оцінок , тоді план не є оптимальним і необхідно здійснити перехід до наступного опорного плану. Якщо від’ємних оцінок кілька, то включенню до базису підлягає вектор, який вибирається як . Мінімум знаходять для тих індексів j, де . Якщо існує кілька однакових значень оцінок, що відповідають , то з відповідних їм векторів до базису включають той, якому відповідає максимальне значення цільової функції.

Якщо хоча б для однієї від’ємної оцінки всі коефіцієнти розкладу відповідного вектора недодатні, то це означає, що цільова функція є необмеженою на багатограннику розв’язків, тобто багатогранник у даному разі є необмеженою областю і розв’язком задачі є .

Нехай , тобто мінімальне значення досягається для k-го вектора . Тоді до базису включається вектор . Відповідний стовпчик симплексної таблиці називають напрямним.

Для того, щоб вибрати вектор, який необхідно вивести з базису, розраховують останній стовпчик табл. 3.1 – значення .

.

З розрахованих значень необхідно вибрати найменше . Тоді з базису виключають i-ий вектор, якому відповідає . Допустимо, що відповідає вектору, що знаходиться в l-му рядку табл. 3.1. Відповідний рядок симплексної таблиці називають напрямним.

Перетином напрямного стовпчика та напрямного рядка визначається елемент симплексної таблиці a_lk, який називають розв’язувальним елементом. За допомогою елемента a_lk і методу Жордана–Гаусса розраховують нову симплексну таблицю, що визначатиме наступний опорний план задачі.

Значення компонент наступного опорного плану розраховуються за формулами:

(3.16)

Коефіцієнти розкладу векторів за векторами нового базису (перехід до наступного опорного плану та створення нової симплексної табл. 2.7) розраховуються за формулами:

(3.17)

Формули (3.16) та (3.17) є формулами повних виключень Жор­дана—Гаусса.

Розв’язання задачі лінійного програмування на відшукання мінімального значення цільової функції відрізняється лише умовою оптимальності опорного плану. До базису включають вектор, для якого , де максимум знаходять для тих j, яким відповідають . Всі інші процедури симплексного методу здійснюються аналогічно, як у задачі лінійного програмування на відшукання максимального значення цільової функції.

Приклад. Знайти розв’язок ЗЛП:

,

Розв’язання. Перейшовши до канонічної ЗЛП, отримаємо:

,

Розв’язок представимо у симплекс-таблиці (табл. 3.2).

Таблиця 3.2

№	Базис	cб	B	2	–1	–7	0	0	k
				P1	P2	P3	P4	P5
1	P4	0	4	1	2	3	1	0	4/3
	P5	0	7	–1	–4	10	0	1	7/10
	j		0	–2	1	7	0	0
2	P4	0	19/10	13/10	32/10	0	1	–3/10	19/32
	P3	–7	7/10	–1/10	–4/10	1	0	1/10
	j		–49/10	–13/10	19/5	0	0	–7/10
3	P2	–1	19/32	13/32	1	0	5/16	–3/32
	P3	–7	15/16	1/16	0	1	1/8	1/16
	j		–229/32	–91/32	0	0	–19/16	–11/32

З останньої симплекс-таблиці отримаємо – оптимальний розв’язок канонічної ЗЛП. Тоді, – оптимальний розв’язок вихідної ЗЛП. .