2. Основные понятия теории вероятности

Событием называется всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или не происходит.

События называют несовместными, если появление одного их них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Если появление одного события не исключает появления другого, то такие события называются совместными.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называются достоверными, если они с необходимостью должны произойти.

События называются невозможными, если их ненаступление достоверно.

Если символом обозначить событие, равносильное ненаступлению событию А, то в таком случае событие называется противоположным событию А.

Испытанием называется соблюдение определенных условий, при которых может произойти данное событие.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность Р(А) не зависит от того, произошло событие В или нет.

3. Определение вероятностей

Классическое определение. Пусть известно, что событие А может произойти совместно с одним из n равновозможных, единственно возможных и несовместных событий, образующих полную группу.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию m исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность появления события а обозначается .

Элементарным исходом (элементарным событием) называется каждый из возможных результатов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:

а) вероятность достоверного события равна 1;

б) вероятность невозможного события равна 0;

в) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

Статистическое определение вероятности. Пусть при одних и тех же условиях производится серия испытаний на появление события А. Допустим, что из n испытаний А появилось m раз. Отношение называется частотой появления события А.

Постоянное неотрицательное число, около которого колеблется частота события А, при достаточно большом числе испытаний называется статистической вероятностью события А. Таким образом, .

Г еометрическая вероятность. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть пространства). Пусть реализация всех условий, при которых может произойти событие А, сводится к появлению точки М в любом месте некоторой плоскости Д. Пусть далее событие А происходит, если точка М в некоторой области d – части Д. Тогда по определению вероятность попадания точки М в область d, если она попала в область Д, равна гдеS_d и S_Д– площади областей d и Д.

Замечание. Схема применима и в тех случаях, когда d и Д – одномерные и трехмерные области. Тогда или , где lи V – длина и объем соответствующей области.