3. Понятие, виды и формы средних величин

Средний показатель – показатель в форме средней величины, представляющий собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных.

Объем признака – суммарное значение изучаемого признака по всем единицам совокупности.

Исходное соотношение средней (ИСС):

Все виды средних величин, используемых в статистических исследованиях, подразделяются на две категории:

1) степенные средние;

2) структурные (позиционные) средние.

В практической статистике наибольшее распространение получили следующие виды степенных средних:

- средняя арифметическая;

- средняя гармоническая;

- средняя геометрическая;

- средняя квадратическая.

Среди структурных средних наиболее распространены:

- мода;

- медиана;

- квартили;

- децили;

- перцентили.

В теории статистики различают следующие формы средних величин:

1. простая форма (не взвешенная)

2. сложная (взвешенная) или агрегатная форма.

Перечислим общие правила, которыми следует руководствоваться при выборе степенной средней:

1. Формулируется цель, для которой рассчитывается средняя, и дается понятие определяющего показателя.

2. Приводится аналитическое выражение определяющего показателя.

3. Обосновывается формула расчета средней, исходя из того, что величина определяющего показателя не изменится при замене индивидуальных значений признака у отдельных единиц совокупности средней величиной.

4. Степенные средние величины. Расчет средней арифметической величины способом моментов

Основной исходной формой средних величин является степенная средняя:

а) простая (не взвешенная )средняя степенная =

где - степенная средняя,

Х - варианта признака,

n - число единиц совокупности,

к - показатель степени.

б) взвешенная степенная средняя

где f - частота повторения признака в совокупности.

Придавая определенные значения показателю степени к и преобразуя формулу степенной средней, можно получить следующие виды средних величин:

при к = 1 - средняя арифметическая

при к = 0 - средняя геометрическая

при к = -1 средняя гармоническая

при к = 2 - средняя квадратическая.

Таблица 8.2

Формы и виды степенных средних величин

№ п/п	Форма средней величины	Расчетная формула
1.	Средняя арифметическая невзвешенная
2.	Средняя арифметическая взвешенная
3.	Средняя гармоническая невзвешенная
4.	Средняя гармоническая взвешенная	где
5.	Средняя геометрическая невзвешенная
6.	Средняя геометрическая взвешенная
7.	Средняя квадратическая невзвешенная
8.	Средняя квадратическая взвешенная

Важнейшими свойствами средней арифметической величины являются следующие:

1. Произведение средней величины на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов и частот

2. Сумма отклонений вариант как от простой, так и от взвешенной средней всегда равна нулю:

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и тоже число а, то средняя величина уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если варианты признака уменьшить или увеличить в а раз, то средняя увеличится или уменьшится в это же число раз:

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в какую-то величину d, то средняя от этого действия не изменится:

6. Если веса всех вариант признака равны между собой, то взвешенная средняя будет равна простой средней: , если f_i = f_{1 .}

Учитывая эти свойства, в статистике применяется расчет средней способом моментов (для вариационного ряда с равными интервалами) по формуле:

где Х - срединное значение интервального вариационного ряда

i - величина интервала

f - частота повторения признака в совокупности

А - условная величина. За условную величину А обычно принимается варианта, имеющая наибольшую частоту или доминирующее срединное положение в данном ряду.

Эту формулу можно преобразовать следующим образом:

,

где средняя m₁ из значений - называется моментом первого порядка.