9.3.2 Ранговые коэффициенты корреляции

Ранговые коэффициенты Спирмэна и Кендэла применяют для изменения связи между ранжированными признаками. Эти коэффициенты применяют не только для качественных, но и для количественных показателей, особенно при малом объёме совокупности, так как непараметрические методы ранговой корреляции не связаны ни с какими ограничениями относительно характера распределения признака.

Суть расчетов этих коэффициентов состоит в том, что коррелируются не сами значения показателей и , а их ранги, т.е. номера их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию (обозначаются ранг буквой или ).

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна ( = «ро») рассчитывается по формуле:

. (9.10)

Коэффициент корреляции рангов Кендэла ( = «тау») рассчитывается по формуле:

. (9.11)

9.3.3 Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков)

Следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации.

Он основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака ( и ) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений , а их знаки («+» или «-»). Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений ( ) и несовпадений ( ).

Коэффициент Фехнера ( ) рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

. (9.12)

Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадают, то и тогда . Это характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадают, то , а , что характеризует обратную связь. Коэффициент Фехнера, как и любой другой показатель тесноты связи, может принимать значения от -1 до +1.

Пример 9.3. Имеются следующие данные о росте восьми пар братьев и сестер (таблица 9.2).

Таблица 9.2 - Данные о росте восьми пар братьев и сестер

Рост брата, см	Рост сестры, см
170 165 177 180 181 175 172 180	163 162 168 170 164 162 165 168

Определить тесноту зависимости между ростом братьев и сестер на основе:

а) коэффициента Фехнера;

б) коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.

Решение:

а) Рассчитаем средние величины и :

;

.

Определив знаки отклонения от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений ( ) и несовпадений ( ):

.

Коэффициент Фехнера ( ) рассчитывается по формуле 9.8:

.

По величине коэффициента Фехнера ( ) можно сделать вывод о весьма тесной зависимости между и .

б) По уже имеющимся данным (графы 1-2 таблицы 9.2) для нахождения коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла построим таблицу 9.3.

Таблица 9.3 – Расчетные значения, необходимые для исчисления коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла

						Подсчет баллов
						«+»	«-»
1	2	3	4	5	6	7	8
165 170 172 175 177 180 180 181	162 163 165 162 168 168 170 164	1 2 3 4 5 6,5 6,5 8	1,5 3 5 1,5 6,5 6,5 8 4	-0,5 -1 -2 2,5 -0,5 0 -1,5 4	0,25 1 4 6,25 0,25 0 2,25 16	6 4 3 3 0 0 0 -	0 0 0 0 0 0 0 -

В данном примере отдельные значения и повторяются. При ранжировании повторяющихся значений, им присваивается ранг, рассчитанный как средняя арифметическая из суммы мест, которые они занимают по возрастанию.

Расчет рангов показан в графах 3 и 4.

Для случая повторяющихся рангов есть особые скорректированные формулы и для коэффициента Спирмэна, и для коэффициента Кендэла. Однако на практике часто пользуются приведенной ранее формулой Спирмэна и для случая повторяющихся рангов, поскольку ошибку она дает весьма малую:

.

Формула коэффициента Кендэла для повторяющихся рангов имеет вид:

,

где , как и раньше, a и - показатели, корректирующие максимальную сумму баллов и определяемые по формуле , где - число повторяющихся рангов в соответствующем ряду и :

.

Так как значения рангов идут строго в возрастающем порядке, то следим лишь за поведением . После первой пары значений рангов, где в шести случаях идут значения и ни одного случая, где . Это означает, что в графу 7 мы ставим число «6», а в графу 8 число «0». Далее после второй пары значений рангов, где в четырех случаях идут значения и ни одного случая, где . Это означает, что в графу 7 мы ставим число «4», а в графу 8 число «0». ». В случае, если бы после второй пары значений рангов, где в трех случаях шли бы значения и два случая, где - это означало бы, что в графу 7 мы ставим число «3», а в графу 8 число «2» и т.д.

Расчет и показан в графах 7 и 8. По результатам подсчетов .

Отсюда коэффициент корреляции рангов Кендэла:

.

По величине коэффициента ( ) можно сделать вывод о весьма тесной зависимости между и , т.е. рост сестры весьма зависим от роста её брата.

Говоря о расчете коэффициента Кендэла, следует еще раз подчеркнуть, что если наблюдаемые единицы совокупности записаны неупорядоченно по одному из признаков (таблица 9.2.), то после ранжирования значений и , ранги одного из признаков, например , следует переписать, расположив их строго в порядке возрастания (или убывания), а для второго признака сохранить значения рангов, соответствующие значениям каждого в исходных данных (таблица 9.3).