9.2 Статистические методы моделирования связи

Для изучения функциональных связей применяются балансовый и индексный методы.

Для исследования стохастических связей широко используется:

- метод сопоставления двух параллельных рядов,

- метод аналитических группировок,

- корреляционный анализ,

- регрессионный анализ,

- некоторые непараметрические методы.

Метод сопоставления двух параллельных рядов - позволяет установить наличие стохастической связи и получить представление о ее характере и направлении. Для этого факторы, характеризующие результативный признак, располагают в возрастающем или убывающем порядке (в зависимости от эволюции процесса и целей исследования), а затем прослеживают изменение величины результативного признака.

К недостатку метода взаимозависимых параллельных рядов следует отнести невозможность определения количественной меры связи между изучаемыми признаками. Однако он удобен и эффективен, когда речь идет о необходимости установления связей между показателями и факторами, характеризующими экономический процесс.

Метод аналитических группировок – используют для изучения более четкого проявления стохастической связи. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и для каждой группы вычислить среднее или относительное значение результативного признака. Сопоставляя затем изменения результативного признака по мере изменения факторного, можно выявить направление, характер и тесноту связи между ними с помощью эмпирического корреляционного отношения. Однако метод группировок не позволяет определить форму (аналитическое выражение) влияния факторных признаков на результативный.

Корреляционный и регрессионный анализ позволяет изучить не только количественную оценку наличия, направления и силы связи, но и определить формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых, должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа - выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов.

9.2.1 Двухмерная линейная модель корреляционного и регрессионного анализа (однофакторный линейный корреляционный и регрессионный анализ)

Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака , на результативный признак и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ.

При изучении связи экономических показателей производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи ( уравнение регрессии) имеет вид:

, (9.3)

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку является средним значением в точке , экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака и вариацией результативного признака . Уравнение (9.3) показывает среднее значение изменения результативного признака при изменении факторного признака на одну единицу его измерения, т.е. вариацию , приходящуюся на единицу вариации . Знак указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения находят методом наименьших квадратов - метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений. Таким образом, в основу данного метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выровненных :

Для нахождения минимума функции приравниваем к нулю её частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

(9.4)

Решим эту систему в общем виде, находим параметры уравнения :

(9.5)

(9.6)

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

или ,

.

Определив значения , подставив их в уравнение связи , находим значения , зависящие только от заданного значения .

Пример 9.1. Рассмотрим построение однофакторного уравнения регрессии зависимости объема предоставленных кредитов от задолженности по кредитам .

Исходя из экономических соображений предоставленные кредиты выбраны в качестве независимой переменной . Сопоставление данных параллельных рядов признаков и (таблица 9.1) показывает, что с возрастанием признака (предоставленные в рублях кредиты), растет результативный признак (задолженность по кредитам в рублях). Следовательно, между и существует прямая зависимость, выраженная достаточно ясно.

Таблица 9.1 - Распределение лет по сумме предоставленных кредитов и задолженности по ним, в рублях

Исходные данные			Расчетные данные
Год	Предоставленные кредиты в рублях, млрд. руб.	Задолженность по кредитам в рублях, млрд. руб.
2004 2005 2006 2007 2008	1,935 3,048 4,244 6,538 10,183	1,539 2,306 3,079 4,375 6,738	3,744 9,290 18,012 42,745 103,693	2,369 5,318 9,480 19,141 45,401	2,978 7,029 13,067 28,604 68,613	1,661 2,329 3,046 4,423 6,610
Итого

Пользуясь расчетными значениями (см. таблицу 9.1), исчислим параметры для данного уравнения регрессии:

,

.

Следовательно, регрессионная модель распределения задолженности по предоставленным кредитам в рублях для данного примера может быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:

.

Это уравнение характеризует зависимость среднего уровня предоставленных в рублях кредитов от задолженности по ним. Расчетные значения , найденные по данному уравнению, приведены в таблице 9.1. Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм ( , (возникло некоторое расхождение вследствие округления расчетов)).

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи не только между двумя признаками (при парной связи), но и между результативным признаком и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).