7.3 Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии в 2008 г. (таблица 7.11).

Таблица 7.11 - Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Месяц	Объем производства	Месяц	Объем производства
Январь	3,1	Июль	3,6
Февраль	3,4	Август	3,9
Март	3,2	Сентябрь	4,1
Апрель	3,3	Октябрь	4,0
Май	3,6	Ноябрь	3,9
Июнь	3,8	Декабрь	4,2

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (таблица 7.12), т.е. укрупнить интересы, то решение задачи упрощается.

Таблица 7.12 - Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, руб.

Квартал	За квартал	В среднем за месяц
I	9,7	3,23
II	10,7	3,57
III	11,6	3,87
IV	12,1	4,03

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной:

млн. руб.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур приведен в таблице 7.13.

Таблица 7.13 - Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га.

Год	Фактический уровень урожайности, ц/га	Скользящая средняя
		трехлетняя	пятилетняя
1999	16,6	-	-
2000	17,0		-
2001	14,4		18,1
2002	19,7	19,0	19,2
2003	23,0	21,6	20,6
2004	22,1	22,9	22,6
2005	23,8	23,4	23,3
2006	24,3	23,7	23,6
2007	23,1	24,1	-
2008	24,9	-	-

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям - на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

,

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени .

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

а) линейная функция – прямая:

,

где - параметры уравнения;

- время;

б) показательная функция:

;

в) степенная функция - кривая второго порядка (парабола):

.

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:

, (7.11)

где - выравненные (расчетные) уровни;

- фактические уровни.

Параметры уравнения , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений.

На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни.

Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней , плавно изменяющимися уровнями , наилучшим образом отражающими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической профессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: . Параметры согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (7.11):

(7.12)

где - фактические (эмпирические) уровни ряда;

- время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени ( ) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней, значения - условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

2001г.	2002г.	2003г.	2004г.	2005г.	2006г.
-5	-3	-1	+1	+3	+5

При нечетном числе уровней значения устанавливаются по-другому:

2001г.	2002г.	2003г.	2004г.	2005г.	2006г.	2007г.
-3	-2	-1	0	+1	+2	+3

В обоих случаях , так что система нормальных уравнений (7.12) принимает вид:

, (7.13)

Из первого уравнения системы 7.13

, (7.14)

Из второго уравнения системы 7.13 следует

, (7.15)

Рассмотрим на примере урожайности зерновых культур (см. таблицу 7.13, расчетные значения - таблица 7.14) выравнивание ряда динамики по прямой.

Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель - уравнение прямой: . В нашем примере - четное число. Параметры искомого уравнения прямой исчислим по формулам (7.14) и (7.15).

Из таблицы 7.14 находим:

откуда .

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: .

Таблица 7.14 - Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур

Год
1999	-9	81	16,6	-149,4	16,05	0,55	0,3025
2000	-7	49	17,0	-119	17,11	-0,11	0,0121
2001	-5	25	14,4	-72	18,19	-3,79	14,3641
2002	-3	9	19,7	-59,1	19,27	0,43	0,1849
2003	-1	1	23,0	-23	20,35	2,65	7,0225
2004	+1	1	22,1	22,1	21,43	0,67	0,4489
2005	+3	9	23,8	71,4	22,51	1,29	1,6641
2006	+5	25	24,3	121,5	23,59	0,71	0,5041
2007	+7	49	23,1	161,7	24,67	-1,57	2,4649
2008	+9	81	24,9	224,1	25,75	-0,85	0,7225
Итого

Подставляя в данное уравнение последовательно значения , равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни .

Если расчеты выполнены правильно, то . В нашем примере . Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1999 по 2008 г.г. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на ц/га в год.