2.Жиындар теориясы. Ішкі жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері.Математикалық логиканың элементтері. Пікір және оларға амалдар қолдану. Логика заңдары.

Жиындар ұғымы математиканың ең бастапқы, ең қарапайым ұғымдарының бірі. Сондықтан оның басқа, онан да қарапайым ұғымдар арқылы анықталуы мүмкін емес.

Жалпы өмір тәжірибесінде сан алуан нәрселердің жиындары кездеседі. Бірақ бұл курста қарастырылатын жиындар, негізінде, математикалық объектілер–сандар, функциялар т.б.–жиындары. Ең алдымен бірнеше кеңінен белгілі сан жиындарын атап өтейік және жиындар теориясында қалыптасқан таңбаларды еске салайық:

1. Натурал сандар жиыны ;

2. Бүтін сандар жиыны .

Бұл жерде, әдеттегідей, , әріптері қарастырылып отырған жиындардың белгіленуіде, ал ирек жақшалардың ішіне осы жиындарды құрайтын сандар жазылған, және олар сол жиынның элементтері деп аталады. Қайсыбір элементінің жиынының құрамында екендігі белгісі (тиістілік символы) арқылы түрінде жазылады. Мысалы, жазулары нөл саны бүтін сандар жиынында, екі саны натурал сандар жиынында жатқанын көрсетеді. жиынында элементінің жоқ екендігі түрінде жазылады. Мысалы, .

Егер жиынының элементтері түгелімен жиынында жатса, басқаша айтқанда әрбір үшін болса, онда жиыны жиынының ішжиыны деп аталады және бұл жағдай , немесе түрінде жазылады да, « жиыны жиынына енеді», немесе « жиыныны жиынын қамтиды» деп оқылады.

Әдетте A  B және A  B болғанда A  B деп жазады. Бұл анықтамаға сәйкес әрқашан , яғни әр жиын өзінің ішкі жиындарының бірі болып келеді. Егер және қатынастары қатар орындалса, онда бұл екі жиынды құрайтын элементтер түгелімен екеуінеде ортақ болғаны, сондықтан бұлар тең жиындар деп аталады және бұл түрінде жазылады. Сонымен, және арақатынастары қатар орындалып тұрса, онда олар арақатынасына пара-пар.

Мысалдар. 1) Сандар жиындарына келесі қатынастар орындалады: N  Z  Q  R.

2) Егер А = 0, 2, 4, 6, 8, В = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 болса, онда А  В.

Рационал сандар жиыны .

Бұл мысалдардағы жиындар арасында арақатынастарының орындалатынын аңғару қиын емес

2.Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері.

Берілген екі жиынға қолданылып үшінші жиынды анықтайтын амалдардың анықтамасын келтірейік. және кез келген есімді элементтер жиыны болсын.

және жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын жиын осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады да, (кейде ) түрінде белгіленеді.

Мысалы. 1) Егер А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} болса, онда А  В = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.

2) Егер A = (–2; 3], B = [1; 4] болса, онда А  В = (–2; 4].

және жиындарының барлық ортақ элементтерінен тұратын жиын осы екі жиынның қиылысуы (кейде көбейтіндісі) деп аталады да, (кейде ) түрінде белгіленеді.

Мысалы . 1) А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} жиындары үшін А  В = {5, 6}.

2) A = (–2; 3], B = [1; 4] жиындары үшін А  В = [1; 3].

жиынынан жиынының айырымы деп жиынының жиынына енбеген барлық элементтерінен тұратын жиынды айтады және оны (кейде ) түрінде белгілейді.

Мысалы. 1) Егер А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} болса, онда B \ A = {7, 8, 9}.

2) Егер A = (–2; 3], B = [1; 4] болса, онда B \ A = (3; 4].

Амалдардың бұл анықтамаларын жиынды анықтаудың жоғарыда айтылған тәсілін пайдаланып мына теңдіктер арқылы да жазуға болады:

болмаса

, және

, бірақ

Сонымен қатар, түрінде таңбаланып, теңдігі арқылы анықталған жиын және жиындарының симметриялы айырымы деп аталады.

Бұл амалдарға кейбір алгебралық қасиеттер тән. Мысалы біріктіру мен қиылысу амалдары үшін дистрибутивтік қасиет орындалады: кез келген жиындары үшін

теңдігі орындалады. Егер осы теңдікті бірігу мен қиылысудың басқаша таңбалануын қолданып қайта жазса

түрінде, яғни сандарды қосу және көбейту амалдары үшін орындалатын дистрибутивтік қасиет жиындарды біріктіру мен қиылыстыру амалдары үшін де орындалатынын байқаймыз.

болса, онда айырымы жиынының жиынына дейін толықтауышы деп аталады. Тек осы жағдайда ғана (арифметикалық таңбаларды қолданса бұл теңдік ) түрінде жазылып, сандарға тән қасиетті тағы да еске түсіреді, бірақ жиындар үшін бұл жалпы жағдайда орындалмайтын теңдік).

Эйлер-Венн диаграммасы

Кейбір жағдайларда жиындардың бірігулері, қиылысулары, айырымдары Эйлер-Венн диаграммаларымен кескінделеді. Жазықтықта жиындар тұйық сызықпен шектелген аймақтармен кескінделеді. Төменгі суретте А  В, А  В, A \ B жиындары штрихталған түрде көрсетілді:

Жиындардың тура (декартша) көбейтіндісі.

Анықтама 1. A және B жиындарының Декарт көбейтіндісі деп A және B жиындарының элементтерінен құралған барлық (x, y) реттелген қосақтарының жиыны аталады және A  B деп белгіленеді:

A  B = {(x, y)| x  A, y  B} немесе

Анықтама 2 Кез келген екі және жиындарының тік көбейтіндісі деп бірінші жиынның әрбір элементі мен екінші жиынның элементтерін жұптау нәтижесінде пайда болған барлық жұптарда тұратын жиынды атайды.

Мысалы . 1) Егер A = {1, 2, 3} және B = {a, b} болса, онда A  B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

2 ) Егер A = {x 1  x  3} және B = {x  2  x  4} болса, онда A  B = {(x, y) 1 x  3 және 2  x  4}.

Алгебра ұғымы

Айтылым математиканың алғашқы (анықталмайтын) ұғымдарының бірі. Әдетте математикада жаңа ұғым бұрын берілген ұғымдар арқылы анықталады.

Алғашқы ұғымдар математиканың әртүрлі салаларында кездеседі. Мысалы, геометрияның алғашқы ұғымдары “нүкте”, “түзу”, “жазықтық”, “нүкте берілген түзуде жатады (түзуге тиісті)”, “нүкте берілген жазықтықта жатады (жазықтыққа тиісті)”, “түзу берілген жазықтықта жатады (жазықтықтан өтеді)” және тағы сол сияқты ұғымдар болады.

Математиканың алғашқы ұғымдар басқа мысалдары ретінде “жиын”, “элемент”, “элемент берілген жиынға тиісті”, “алгоритм” және тағы басқаларын келтіруге болады.

Сонда да айтылым ұғымын былай түсіндіруге (бұл анықтама емес, түсіндірме ғана) болады.

2. Айтылым деп ақиқат немесе жалған болатын хабарлы сөйлем аталады.

Айтылымдардың мысалдары: «2 жерде 2 – төрт», «Қосылғыштардың орны ауысқаннан кейін қосынды өзгермейді», «Астана – Қазақстанның бас қаласы», «Теңге – Қазақстан валютасы», «Бүгін сейсенбі», «Егер жаңбыр жауса, қолшатыр алыңыз» және тағы басқа айтылымдар.

Ал «Бөлменің ауданы 20 м²», «Қар жауып тұр», «x² = 4» деген сөйлемдер айтылым болмайды, өйткені 1-сөйлемде нақтылы қандай бөлме екені көрсетілмеген, екінші сөйлемде қайда қар жауып тұрғанын көрсететін қосымша сөз керек, үшінші сөйлемде x айнымал болғандықтан сөйлем айтылым болмайды.

Айтылымдар бас латын әріптерімен белгіленеді: A, B, X₁, Y₂, Z_k,.... Олардың ақиқаттық мәндері әдетте 1 немесе 0-мен белгіленеді, мұнда 1 – ақиқат, 0 – жалған.

Айтылымдарға қолданылатын негізгі операциялар терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және биимпликация деп аталады.

A айтылымының терістеуі ØA деп белгіленеді. Егер A ақиқат болса, онда ØA жалған және A жалған болса, онда ØA ақиқат.

Мысалы, A = “5 > 0“ болса, онда ØA = “5 £ 0“.

ØA терістеуі “A емес“ деп оқылады.

Жалпы жағдайда терістеу ақиқаттық кестемен беріледі:

A	Ø A
1	0
0	1

Басқа логикалық амалдар келесі кестемен беріледі:

Анықтама. A және B айтылымдарының екеуі де ақиқат болғанда, тек сонда ғана A және B айтылымдарының конъюнкциясы ақиқат болады.

A мен B айтылымдарының конъюнкциясы A Ù B белгіленеді және “A және B” деп оқылады. мысалы A = “7 – жай сан”, B = “7 – тақ сан” болса, онда A Ù B конъюнкциясы: “7 – тақ және жай сан” екенін білдіреді.

Кей кезде Ù таңбасының орнына & немесе × (көбейту нүктесі) таңбалары қолданылады.

Анықтама. A мен B айтылымдарының кем дегенде біреуі ақиқат болғанда, тек сонда ғана A және B айтылымдарының дизъюнкциясы ақиқат болады.

A мен B айтылымдарының дизъюнкциясы A Ú B деп белгіленеді және “A немесе B” деп оқылады. Мысалы «2 < 0» Ú «6 < 9» дизъюнкциясы ақиқат болады.

Анықтама. A айтылымы ақиқат, B жалған болғанда, тек сонда ғана A мен B айтылымдарының импликациясы жалған болады.

A мен B айтылымдарының импликациясы A → B деп белгіленеді және “егер A болса, онда B”, “A-дан B шығады” немесе “B айтылымы A-ның салдары болады” деп оқылады.

A → B түріндегі теоремада A айтылымы B айтылымына жеткілікті шарт, B айтылымы A айтылымына қажетті шарт деп аталады. Осы теореманы бірнеше түрде тұжырымдауға болады:

“Егер A болса, онда B”;

“A (орындалу) үшін B (орындалу) қажетті”;

“B (орындалу) үшін A (орындалу) жеткілікті”.

Анықтама. A мен B айтылымдары бір мезгілде ақиқат немесе жалған болғанда, тек сонда ғана A мен B айтылымдарының биимпликациясы ақиқат болады.

A мен B айтылымдарының биимпликациясы A « B деп белгіленеді және “B (орындалғанда), сонда тек сонда ғана A (орындалады)”, “A мен B пара-пар”, “A шарты B шартына қажетті және жеткілікті шарт болады”.

Кей кезде биимпликация , º, », @ деп те белгіленеді.

Айтылымдар логикасының формулалары

Қарапайым айтылымдардан логикалық операцияларды (терістеуді, конъюнкцияны, дизъюнкцияны, биимпликацияны) пайдаланып құрама айтылымдарды жасауға болады

Әдетте қарапайым айтылымдар элементар немесе атомдық айтылымдар деп аталады және X₁, X₂, … әріптерімен, ал құрама айтылымдар A, B, C,… әріптерімен белгіленеді.

Логикалық операциялардың орындалуы келесі ретте беріледі:

а) әуелі терістеуді: Ø;

ә) одан кейін конъюнкцияны: Ù;

б) сосын дизъюнкцияны: Ú;

в) одан әрі импликацияны: →;

г) ақырында биимпликацияны: ↔.