Функция

Анықтама. Егер x айнымалысының әрбір мәніне белгілі бір ереже (заңдылық) бойынша y айнымалысының тек бір ғана мәні сәйкес келсе, онда мұндай сәйкестікті функция деп атайды.

x айнымалысын тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, ал y айнымалысын тәуелді айнымалы немесе функция деп атайды.

Функцияны жазуға т.с.с. белгілеулерді пайдаланады. Егер ережесі бойынша санына саны сәйкес келсе, онда оны мына түрде жазады және санын функциясының нүктесіндегі мәні деп атайды.

Анықтама. Аргументтің функциясы анықталған және нақты сандар қабылдайтын барлық мәндерінің жиыны осы функцияның анықталу облысы деп аталады және таңбасымен белгіленеді.

функциясының барлық мәндерінің жиыны оның өзгеру облысы деп аталады және таңбасымен белгіленеді.

Егер санына жинақты кез келген тізбегіне сәйкес тізбегі A санына жинақты болса, онда функциясының нүктесіндегі шегі A санына тең деп айтады және оны былай жазады:

Анықтама. Егер қандай да бір нөмірінен бастап барлық мүшелері оң (теріс) сандар болатын кез келген шексіз үлкен тізбегіне сәйкес тізбегі A санына жинақты болса, онда аргументі плюс (минус) шексіздікке ұмтылғанда функциясының шегі A санына тең деп айтады және оны былай жазады:

Анықтама. Егер санына жинақты және барлық мүшелері санынан үлкен (кіші) болатын кез келген тізбегіне сәйкес тізбегі A санына жинақты болса, онда функциясының нүктесіндегі оңжақты (солжақты) шегі A санына тең деп айтады және оны былай жазады:

Функцияның шегінің “ -”-тіліндегі анықтамасы.

а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болсын. Егер 0 санына сәйкес ()0 саны табылып, х-тің 0х-а  теңсіздіктерін қанағаттандыратын мәндерінде (х)-b< теңсіздігі орындалса, онда (х) функциясының х а-ға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол b санына тең дейді де символдарымен белгілейді.

Функция шегіне Гейне берген анықтама.  функциясы Х нақты сандар жиынында анықталып, А нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер шарттарын қанағаттандыратын әрбір х₁, х₂,...,х_n,…тізбегі үшін оған сәйкес ( х₁), ( х₂),...,(х_n),… тізбегінің шегі бар және ол А санына тең болса, онда  функциясының а нүктесінде шегі бар және А санына тең деп, символымен белгілейді.

Сонымен, шектің бірнеше анықтамасы бар болды: “ -” және тізбектер тілдерінде. Бұл анықтамалар эквивалентті, яғни біреуі қолданып  функциясының а нүктесінде шегі бар және b санына тең екені дәлелдесе, екіншісін қолданғанда дәл сол нәтижеге келеміз.