2. Күрделі функцияның туындысы. Жоғарғы ретті дербес туындылар мен дифференциалдар. Тейлор формуласы.

Коэффиценттері тұрақты сызықты біртексіз дифференциалдық теңдеулер.

u= функциясының М нүктесінің бірер маңайында х_i аргументі бойынша дербес туындысы бар делік. Егер -дің М нүктесінде х_к аргументі бойынша дербес туындысы бар болса, онда бұл туынды u= функциясының х_i ,х_к аргументтері бойынша екінші ретті дербес туындысы деп аталады және мына символдардың бірімен белгіленеді:

Үшінші ретті дербес туындылар екінші ретті дербес туындылардың туындылары ретінде анықталады т.т.

2. u= функциясынан әр түрлі аргументтер бойынша алынған жоғары ретті дербес туындылары аралас туындылар деп аталады.

Аралас туындылар жөнінде мынадай теорема бар.

Теорема. Егер М₀(х₀,у₀) нүктесінің бірер маңайында u=f(x,y) функциясының аралас дербес туындылары f_ху(x,y) пен f_ух(x,y) бар болса, және бұл туындылар М₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда

f_ху(х₀,у₀)= f_ух(х₀,у₀) теңдігі орындалады.

Анықтама. Егер u= функциясының n-1 ретті барлық дербес туындылары М₀ нүктесінде дифференциалданса,онда u= функциясы М₀ нүктесінде n рет дифференциалданатын функция деп аталады

u=f(x,y)функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінің бірер маңайында дифференциалданатын функция болсын. Ал осы функция М₀ нүктесінде екі рет дифференциалдансын. Сонда толық дифференциалдансын.

Сонда толық дифференциал (мұнда )да х пен у –тің функциясы болатын даусыз.

Ендеше u=f(x,y) функциясының М₀ нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы du-дан дифференциал ретінде анықталады.

Сөйтіп, анықтама бойынша

Екінші дифференциалға ұқсас түрде үшінші, төртінші, т.т. ретті дифференциалдар анықталады.

Кейде жоғары ретті дифференциалдардың жазылысын жеңілдету мақсатында мынадай символдық жазылыс та жиі қолданылады:

Жоғары ретті дифференциалдың анықтамасы.

Анықтама. Егер х нүктесінде дифференциалданатын y=f(x) функциясының дифференциалы dy те сол x нүктесінде дифференциалданатын функция болса, онда берілген y=f(x) функциясының дифференциалының да дифференциалы бар болады. Міне осы дифференциалдан дифференциалды берілген функцияның екінші дифференциалы немесе екінші ретті дифференциалы деп атайды және оны d²y арқылы белгілейді.

d²y=d(dy)

Тейлор формуласы. F функциясы J аралығында анықталып, нуктесінде n рет дифференциалдансын. сандары бойынша белгілі бір тәртіппен құрылған n дєрежелі

копүушелігімен f(x) функциясын белгілі бір мағынада жуықтау формуласын Тейлор формуласы деп атайды.

3. К(2,-3,-5) нүктесi арқылы өтетiн және 6х-3у-5z+2=0 жазықтығына перпендикуляр болатын түзудiң теңдеуiн жазыңдар.

№28 Билет

1. “Жай және ондық бөлшектер” тақырыбын оқыту әдістемесі.

Жай бөлшек пен ондық бөлшектер тақырыбын үйреткенде оның алдымен теориялық бөліміне тоқталып өткен дұрыс сосын оның қасиеттеріне амалдарына т.б қарасытырамыз.Ең алдымен жай бөлшек дегеніміз не? Оның қандай қасиеттері бар? Қолданылатын амалдар? Келесі кезекте ондық бөлшекке тоқталып үйретеміз біз балаларға ондық бөлшекті үйретпей тұрып жай бөлшек тарауын еске түсіріп алған тиімді.

Әр түрлі шамаларды (ұзындықты, массаны, уақытты) өлшеу үшін натурал сандардың басқа бөлшек сандар деп аталатын жаңа сандар енгізілген. Тұтас бір дене тең 8 бөлікке бөлінген. Мұндай бөліктер үлестер деп аталады. Әрбір үлес өзара тең төртбұрыш 8 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі . Жазылуы: ; оқылуы «сегізден бір»

Демек, , мұндағы сызықша - бөлшек сызығы.

Жай бөлшек жалпы түрде мұндағы а- жай бөлшектің алымы, b- жай бөлшектің бөлімі деп аталады.

Мысалы: және т.б.

Бөлшектің астындағы сан неше үлеске бөлінгенін көрсетеді., сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды.

Бөлшек сызықтың үстіндегі сан неше үлестің алынғанын көрсетеді., сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды.

Жай бөлшек -

Кез келген натурал сан жай бөлшектің бөлімі, ал 0 саны және кез келген натурал сан алымы бола алады.

Жай бөлшек қасиеттері: Жай бөлшекке қолданылатын амалдар көбейту, алу, қосу, бөлу:

Бөліндінің қасиеті бойынша бөлінгішті де, бөлгішті де бір натурал санға көбейткеннен немесе болгеннен бөлінді өзгермейді.Онда жай бөлшектің алымын да, бөлімінде бір натурал санға көбейтуді қарастырайық.Мысалы, , осыны жай бөлшекпен жазсақ: , демек, .

Сонда берілген бөлшегіне тең бөлшегін алдық. Сол сияқты ; демен, .

жай бөлшегі жай бөлшегіне тең болады.

Қорыта айтқанда, жай бөлшектің алымын да, бөлімін де бір натурал санға көбейткеннен немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді. Бұл жай бөлшектің негізгі қасиеті.

Жай бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып түрлендіру, яғни бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың 1- ден өзге ортақ бөлгішіне бөлу жай бөлшекті қысқарту деп аталады.

Жай бөлшекті қысқарту тәсілдеріне тоқталайық.

1. тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін олардың ең үлкен ортақ

бөлгішіне қысқарту. Мысалы, бөлшегін қысқартайық:

ЕҮОБ (24, 32)=8; онда ; .

2. тәсіл. Жай бөлшектің алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеу арқылы қысқарту:

; .

3. тәсіл. Біртіндеп қысқарту:

, мұнда берілген бөлшек әуелі 5- ке қысқартылған, сонда шыққан бөлшегі тағы да 7- ге қысқартылған.

Жай бөлшектерді қысқартқаннан кейін олардың алымдары мен бөлімдері _ өзара жай сандар болып шықты. ; және бөлшектерінде 3 пен 4; 9 бен 14; 13 пен 18_өзара жай сандар.

Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектерді қысқармайтын бөлшектер деп атайды.

Ондық бөлшектер

Бірліктен де кіші разрядтары бар ондық жүйеде жазылған сан ондық бөлшек деп аталады 5,7 ; 8,11 ; 5,68 ; 5,103 - ондық бөлшектер .

Ондық бөлшектің соңына нөлді немесе бірнеше нөлдерді тіркеп жазғаннан немесе алып тастағаннан ондық бөлшек өзгермейді

Ондық бөлшеккеде жай бөлшек сияқты арифметикалық амалдар қолданылады.