3. Теңдеуді шешіңіз:

z² – (2 + i)z + (–1 + 7i) = 0.

№26 Билет

1. Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі.

1. Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі.

1. Анықтама: өрнекті дәреже деп атайды. Мұндағы дәреженің негізі, n-дәреженің көрсеткіші деп аталады.

Дәреженің мынадай қасиеттері бар:

1⁰. 2⁰. 3⁰. 4⁰. 5⁰. 6⁰. 7⁰. 8⁰.

y=a^x, , функцияны көрсеткіштік функция деп атайды.

Көрсеткіштік теңдеулер.

Жалпы көрсеткіштік теңдеулерді шешу кезінде оқушылар тарапынан аса қиындық тудырмайды. Ал көрсеткішті-дәрежелік теңдеулерді шешу үшін мынадай тепе-тең түрлендіруді қолданады:

Қарапайым көрсеткіштік теңдеуді шешуді қарастырайық.

(1)

мұндағы және . функциясының мәндерінің облысы-оң сандар жиыны. Сондықтан немесе болғанда (1) теңдеудің түбірлері болмайды.

Айталық, болсын. функциясы аралықта болғанда өседі ( болғанда кемиді) және барлық оң мәндерді қабылдайды. Түбір туралы теореманы қолданып, (1) теңдеудің 1-ден өзгеше а-ның кез келген оң мәнінде бір ғана болатындығына көз жеткізуге болады. Оны табу үшін -ні түрінде жазу керек . Сонда теңдеуінің түбірі с саны болады.

Ескерту: Түбір туралы теорема.Теңдеулерді шешкенде пайдалануға ыңғайлы бір пікірді тұжырымдайық.

Теорема (түбір туралы) f функциясы І аралығында өсетін (немесе кемитін), ал саны f -тің осы аралықтарда қабылдайтын мәндерінің кез келгені болсын. Сонда f (х)=a теңдеуінің І аралығында бір ғана түбірі болады.

Көрсеткіштік теңдеуді шешу көбінесе дәреженің қасиетіне негізделген: негіздері бірдей екі дәреже олардың көрсеткіштері тең болғанда ғана өзара тең болады.

1. мысал. теңдеуін шешейік.

Логарифмдік теңдеулер.

Логарифмдік теңдеуді шешу үшін: дәреженің қасиеттерін, логарифмнің қасиеттерін, логарифмдік теңдеуді шешудің жалпы және дербес түрлерін, логарифмдік теңсіздіктерді негізіне байланысты шешу жолдарын білуі керек. Қарапайым логарифмдік теңдеулерді шешу үшін мынадай көрнекілікті қолданған тиімді.

Логарифмдік теңдеулерді, негізінен, осындай қарапайым теңдеулерге келтіріп шешетін болғандықтан, бұл көрнекілік, оқушылардың жадында сақталғанша тақтада ілулі тұрғаны немесе әрбір оқушының қол астында болғаны дұрыс және оқушылар қысқаша конспектілерін де осындай үлгімен жасауларын қадағалау керек.

Көп жағдайда күрделі логарифмдік теңдеулерді мына түрге келтіріп шешеді.

Логарифмдік теңсіздіктер

Кез келген логарифмдік теңсіздік соңында теңсіздік түріне ауысуы мүмкін

(1)

Теорема 1. Егер а1, онда теңсіздік (1) мынау теңсіздік системасына тең:

(2)

Теорема 2. Егер 0а1, онда теңсіздік (1) мынау теңсіздік системасына тең:

(3)

2. Бір айнымалының көпмүшесі. Көпмүшені х-а екімүшеге бөлу. Көпмүшенің түбірі. Көпмүшелерді қалдықпен бөлу теоремасы. Екоб және екое. Евклид алгоритмі келтірілмейтін көпмүшеліктер.

Анықтама. Бірлігі бар коммутативтік K сақинасындағы көпмүше а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ түріндегі формальды қосынды аталады, мұндағы n теріс емес бүтін сан, a_i  K, x айнамал немесе белгісіз деп аталатын арнайы символ.

K сақинасындағы көпмүшелер жиыны K[x] деп белгіленеді.

Егер f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ  K[x] көпмүшесі берілсе, онда a_i элементтері f(x) көпмүшесінің коэффициенттері, a_ixⁱ қосылғышы көпмүшенің мүшесі деп аталады. Жалғыз мүшеден құралған a_ixⁱ көпмүшесі бірмүше деп аталады. Коэффициенттері бәрі нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады және 0 деп белгіленеді.

Анықтама. Егер f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ және g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² +…+ b_nxⁿ көпмүшелеріне a₀ = b₀, a₁ = b₁,…, a_n = b_n болса, онда f(x) және g(x) көпмүшелері тең деп есептеледі.

Басқа сөзбен айтқанда, екі көпмүшенің сәйкес коэффициенттері тең болса, онда олар тең болады,.

f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ және g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² +…+ b_mx^m көпмүшелерінің қосындысы f(x) + g(x) = (а₀ + b₀) + (а₁ + b₁)х + (a₂ + b₂)x² + …+ (а_s + b_s)x^s деп анықталады, мұнда s = max(m, n).

f(x) және g(x) көпмүшелерінің көбейтіндісінің h(x) = с_о + с₁х + с₂х² +…+ с_n+mx^n+m көпмүшесі болады. Оның коэффициенттері с_k = а₀b_k + а₁b_k–1 + а₂b_k–2 +…+ а_kb₀ формуласымен есептеледі.