Теоремаларды дәлелдеу және есептерді шешуді оқыту әдістемесі.
Оқушыларға теоремаларды дэлелдеуді үйрету.
Теореманы логикалық жолмен дәлелдеу.
Теореманы қарсы жорып дәлелдеу
Теореманы беттестіру тәсілімен дэлелдеу.
Кейбір теоремалардың оқылуынан немесе оны дэлелдеу үшін сызылған сызбадан оқушыларға теоремада дәлелденетін ой айқын көрініп түрған сияқганады да, олардың "Дәлелдемей-«К бслгілі ғой, иесін дәлелдейміз жэне осы дэлелдеудің керегі ие?" дейтіні болады. Мұндай жағдайда оқушыларға логикалық долслдеусіз ешбір түжырымға сенбеуді, әрбір тұжырым тек дәлелденгеннен соң ғана күшіне еніп, ғылыми дәрежеге жеістігін түсіндіру қажет.Теореманың ішінде шарты және қорытындысы болады. ІІІартынан не берілгенін, ал қорытындысынан не дәлелдеу ксрек екенін білуге болады. Теорема "егер" деген сөзбен басталса, "онда" деген сөзге дейінгі - оның шарты, ал онда дсген сөзден аяғына дейінгі - қорытындысы. Бірақ кейбір георемалардың шарты мен қорытындысын оқушылар айыра алмайды. Мұндай жағдайда оқушыларға мүғалім көмектесіп үйретуі керек.
Мысалы: «Сыбайлас бұрыштардың қосындысын табыңыздар».Оқушылар транспортирмен бұрыштарды өлшеп, қосындысы 180 болатыньш табады да, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180 болады» деген теореманы өздері айтады. Бұл көрнекі-белсенділік әдістің бір жақсысы оқушылар өздігінен белсенді жұмыс істейді, есептер шығаруды үйренеді.
Сөйтіп, оқушыларды теоремамен таныстырғанда неғұрлым олар саналы және белсенді қатынасатын болса, соғұрлым теорема және оның ілгерідегі дәлелденуі оларға түсінікті болады. Теореманы түсіну және дәлелдеу процесінде дұрыс салынған сызбаның маңызы өте зор.
Теореманы логикалық жолмен дәлелдеу.
Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дәлелдейтініміз белгілі. Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір-екі теорема алып, олар "бұрынғы" қандай теоремалар арқылы дәлелденетінін схема сызып түсіидірген жөн.
Теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісі.
Қарсы жорып дәлелдеу әдісі математикада қолданылады, сондықтан оған VI сыныптан бастап үйрету керек. Бұл әдісті қолданып теорема дәлелдегенде оқушыларға мынандай қиыншылықтар кездеседі:
а)белгілі дәлелдерді пайдалана отырып тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады.
Істелінетін істің, керісінше, теріс жақтарын байқап қарап, содан кейін қорытынды жасау өмірде де көп кездеседі. Сондықтан мүғалім өмір тәжірибесінен мысалдар келтіруіне болады. Бүл әдістің бір жақсылығы дәлелдегенде қорытындының дұрыс жағымен қатар, оның бірнеше қате жақтарымен танысуға мүмкіншілік болады.
Есепті шешу әдісін іздестіруде аналогияны саналы түрде қолдануға оқушыларды дағдыландырудың маңызы зор. Ол үшін мынадай жалпы жоспар ұсынамыз: берілгенге ұқсас есеп таңдап алу, яғни берілгендерін салыстыруға болатын шарттары ұқсас, қорытындысы да ұқсас болуы керек. Берілген есепке ұқсас тандап алынған есептің жеңіл шығару әдісі мен шешімі белгілі болу керек. қосымша есепті шешу керек, содан соң осыған ұқсас пайымдап, берілген есепті шешу қажет. Аналогияны, көбінесе, планиметриялық және стереометриялық есептерді шешуге пайдаланылады
n-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер. Коэффиценттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулер.
n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
(1)
Егер
,
онда теңдеуді біртекті емес деп атайды,
ал
оны біртекті немесе (1) теңдеуге сәйкес
келетін біртекті теңдеу деп атайды:
(2)
Осы біртекті теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті:
Егер
,
,
...
(2) теңдеудің шешімдері болса онда
(3)
мұндағы
кез келген тұрақты сандар, осы теңдеудің
шешімі болады.
Қандай шарттар орындалғанда (3) өрнек (2) теңдеудің жалпы шешімі болады деген сұрау туады. Осыған байланысты функциялардың сызықтық тәуелсіздігі деген ұғым енгіземіз.
Анықтама.
Егер
берілген
үшін бәрі нөлге тең емес
тұрақты сандар табылып,
үшін
қатыс
орындалса, онда
функция жүйелерін
интервалында сызықтық тәуелді деп
атайды. Егер де бұл қатыс
орындалса, онда
функция жүйесін
интервалында сызықтық тәуелсіз деп
атайды.
Айталық
функциялар
рет дифференциалданатын болсын. Осы
туындылардан анықтауыш құрамыз:
(4)
(4)-ті вронскиан немесе Вронскийдің анықтауыш деп атайды.
аралығында
берілген және осы аралықта өзінің
ретті үзіліссіз туындылары бар
функцияның сызықтық тәуелсіз болуы
үшін
нүктесінде вронскианның нолге тең емес
болуы жеткілікті, демек
.
Егер де берілген функциялар біртекті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімдері болса, онда жоғарыдағы шарт жеткілікті ғана емес сызықтық тәуелсіздіктің қажетті де шарты болады.
(2)
теңдеудің вронскианы
анықталады. Бұл формуланы
Лиувилль-Остроградский
формуласы
деп атайды.
2. Біртекті емес (1) теңдеудің шешімін тұрақтыны вариациялау әдісімен (Лагранж әдісі) табуға болады.
Сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу, оның коэффициенттері тұрақты болған жағдайда әжептеуір жеңіл.
Енді осындай теңдеулерді қарасытырамыз.
,
(5)
Мұндағы
-
қайсыбір нақты сандар.
(5)
теңдеуде
(
)
Туындыларын табамыз:
мәндерін
(5) теңдеуге қойып
қысқартқан соң
(6)
аламыз. (6) теңдеуді (5) дифференциалдық теңдеудің сипаттаушы теңдеуі деп атайды, ал теңдеу түбірлерін сипаттаушы сандар дейді. Осы түбірлердің мүмкін болатын мәндерін қарастырамыз
а) (6) теңдеу түбірлері әртүрлі нақты сандар болсын. Онда (5) теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесі
(7)
болады Ал жалпы шешімі
(7/)
жазылады. (7) функциялардың вронскианы нолге тең емес екеніне көз жеткізу қиын емес.
б) (6) теңдеу түбірлері нақты, сонымен қатар еселі түбірлері бар.
Мәселен,
айталық
болсын, онда фундаменталдық шешімдер
жүйесі:
(8)
Жалпы шешім
(9)
жазылады.
в)
Сипаттаушы түбірлердің ішінде комплекс
сандар бар. Айталық,
ал
қалған түбірлер нақты және әр түрлі
сандар болсын делік.