2. Көп айнымалы функциялар. Көп айнымалыдан тәуелді функциялардың шегі, үзіліссіздігі. Дербес туындылар және дербес дифференциалдар. Функциялардың дифференциалдануы.

Анықтама: Егер m-өлшемді R^m кеңістігі беріліп оның М₁(x₁, x₂,…,x_m) және M₂(y₁,y₂,…,y_m) екі нүктесінің арақашықтығы

,М₂)=

формуласы бойынша анықталса ол кеңістік m-өлшемді Евклидтік кеңістік деп аталады, да Е^m арқылы белгіленеді.

Егер әрбір n натурал санға М_n E^m нүктесі сәйкес келсе онда Е^m кеңістігіндегі М₁, М₂,....,М_n,... нүктелер тізбегі берілген дейміз және ол қысқаша {M_n} арқылы белгіленеді.

Анықтама: Егер болса, онда А(а₁,а₂,...,а_m) нүктесі {M_n} нүктелер тізбегінің шегі деп аталады.

1. Е^m кеңістігіндегі нүктелер жиыны {М} болсын. Егер әрбір М(x₁,х₂,...,х_n) {M} нүктесіне белгілі заң немесе ереже бойынша U-дың бір мәні сәйкес қойылатын болса, онда {М} жиынында m айнымалының функциясы анықталған дейміз, және u = f(M) немесе u = f(x₁,x₂,…,x_m) символдарыныңбірімен белгілейміз.

2. u = f(M) функциясы {M} жиынында анықталған болсын, ал А(a₁,a₂,…,a_m) нүктесі осы жиынның шектік нүктесі болсын.

Кошише анықтама: Егер кез келген > 0 санына сәйкес 0: 0(М,А) шартын қанағаттандыратын үшін теңсіздігі орындалса, онда и саны функциясының МА-ды шегі деп аталады да, былай жазылады да, былай жазылады:

Гейнеше анықтама. Егер А-ға жинақталатын М_n, М_n А тізбегіне сәйкес келетін функция мәндерінің тізбегі (М_n) b-ға жинақталса, онда b саны ¦(М) функциясының А нүктесіндегі шегі деп аталады.

Көп айнымалы функция үшін жай шекпен қатар қайталама шектер деп аталатын шектер де қарастырылады. Оның мағынасы әуелі функцияның шегі оның бір аргументі бойынша алынып, сонан кейін екінші аргументі, үшінші аргументі, т.т. бойынша алынады.

4. m айнымалының функциясы М жиынында анықталған болсын. Және А нүктесі М жиынының осы жиында жататын шектік нүктесі болсын.

Анықтама. Егер болса, функциясы А нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер белгілеулерін енгізсек, функцияның толық өсімшесі ∆u-ды

түрінде жазуға болады. Онда функцияның А нүктесіндегі үзіліссіздік шарты ( ) немесе шартына эквивалернтті болады.

. М(х₁, х₂, ..., х_n ) нүктесі функциясының анықталу облысының ішкі нүктесі болсын. Бұл функцияның М(х₁, х₂, ..., х_n ) нүктесінде х_к аргументтің ∆х_к өсімшесін қарастырайық.

∆х_к u=

Анықтама. Егер бар болса, онда

Бұл шек u= функциясының М нүктесінде х_к аргументі бойынша дербес туындысы деп аталады және мына символдардың бірімен белгіленеді:

Мысал. z=arctg функцияның дербес туындыларын табайық.

2. Баяндауды жеңілдету мақсатында екі айнымалы z=f(x,y) функциясын қарастырамыз. Бұл функция D облысында анықталған болсын. М₀(х₀,у₀) нүктесі осы облыстың бірер ішкі нүктесі болсын. х₀ –ге ∆х өсімшесін, у₀ –ге ∆у өсімшесін М(х₀ +∆х,у₀ +∆у)D етіп берсек, функцияның өзі де өсімшесін алады.

Берілген функцияның осы өсімшесін оның толық өсімшесі деп аталады.

Анықтама: егер D облысында берілген z=f(x,y) функциясының М₀(х₀,у₀) нүктесіндегі толық өсімшесі түрінде жазылған болса, бұл жерде А және В –тұрақтылар, ал ∆х0, ∆у0 да , ол функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады.

Дифференциалданатындайтын теореманы келтірейік.

Теорема-1. Егер z=f(x,y) функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданса, онда осы нүктеде дербес туындылары бар болады.

Сонымен бірге . Сондықтан (1) формуланы

(2)

түріне жазуға болады.Басқаша айтқанда

Бірақ керісінше тұжырымдау дұрыс болмайды. Басқаша айтқанда дербес туындылардың барлығынан функцияның дифференциалдануы шықпайды.

3. Енді дифференциалданатындықтың жеткілікті шартын тұжырымдайық.

Теорема-2. Егер z=f(x,y) функциясының

3. дербес туындылары тек М₀(х₀,у₀) нүктесінде ғана емес, оның қандай да болса бір маңайында бар болса,

4. ол дербес туындылар М₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда z=f(x,y) функциясы осы нүктеде дифференциалданатын функция болады.

Дербес туындылардың үзіліссіздігі дифференциалданудың тек жеткілікті шарты болатыны мына мысалдан айқын көрінеді:

Функциясының О(0;0) нүктесінің бірер маңайында дербес туындылары бар және ол функция осы нүктеде дифференциалданады, бірақ дербес туындылары О(0;0) нүктесінде үзіліссіз емес.

Шынында, О(0;0) нүктеден өзге нүктелерде дербес туындыларды дифференциалдау ережелері бойынша табуға болады.

3. Теңдеулер жүйесін шешіңдер:

(3 – i)x + (4 + 2i)y = 2 + 6i,

(4 + 2i)x – (2 + 3i)y = 5 + 4i.

№25 Билет

1. Теоремаларды дәлелдеу және есептерді шешуді оқыту әдістемесі.