Көпмүшені х - х0 екімүшесіне қалдықпен бөлу.

c  K элементі үшін f(x) = а₀xⁿ + а₁x^n–1 +…+ а_n–1x + a_n  K көпмүшесінің f(c) мәні f(c) = а₀cⁿ + а₁c^n–1 +…+ а_n–1c + a_n деп анықталады. Қосу және көбейту алгебралық операция болғасын, көпмүшенің мәні бірмәнді анықталады.

Теорема 4. f(x)  K[x] көпмүшесі берілсін. Кез келген х₀  К үшін f(x) көпмүшесін f(x) = g(x)(x – x₀) + c түрінде бірмәнді жазуға болады, мұндағы g(x)  K[x], сонымен бірге c = f(x₀) болады.

Теорема 5 (Безу теоремасы). K[x] сақинасында f(x) көпмүшесі х – х₀ көпмүшесіне бөлінеді, сонда тек сонда ғана x₀ оның түбірі болады.

2) f(x) = ix³ + (2 – 3i)x² – 5(1 + i)x + 4i  C[x] көпмүшесінің x₀ = 1 + i санындағы мәнін табайық.

	i	2 – 3i	–5 – 5i	4i
1 + i	i	1 – 2i	–2 – 6i	– 4 – 4i

Сондықтан f(1 + i) = –4 – 4i.

Көпмүшенің түбірлері

Теорема 6. Егер K бүтіндік облыс болса, онда K[x] сақинасының кез келген n дәрежелі көпмүшенің түбірлер саны n-нан артық болмайды.

Анықтама (көпмүшелердің функциялық теңдігі). f(x), g(x)  K[x] көпмүшелері тең болады, егер кез келген a  K элементі үшін f(a) = g(a) болса.

Көпмүшелердің бұрын анықталған теңдігін (сәйкес коэффициенттер теңдігі арқылы) алгебралық теңдігі деп аталады.

Теорема 7. (Көпмүшелердің алгебралық және функциялық теңдігі туралы). Егер K шексіз бүтіндік облыс болса, онда K[x] сақинасында көпмүшелердің функциялық теңдігінен алгебралық теңдігі шығады.

Қалдықпен бөлу туралы теорема

Теорема 1 (Қалдықпен бөлу туралы теорема). f және g, g  0, көпмүшелерінң коэффициенттері F өрісінде болсын. Онда

f = gq + r және r = 0 немесе deg(r) < deg(g) (1)

болатындай q, r  F[x] көпмүшелері бірмәнді табылады.

Евклид сақинасы деп келесі шарттар орындалатын K бүтіндік облысы аталады:

1) Кез келген нөлден өзге a элементіне теріс емес бүтін N(a) саны сәйкес берілген.

2) Кез келген a, b  K, b ≠ 0, элементтері үшін

a = bq + r, r = 0 немесе N(r) < N(a) (2)

болатындай q және r  K элементтері табылады.

Салдар 1. Егер F өріс болса, онда көпмүшелердің F[x] сақинасы Евклид сақинасы болады.

Салдар 2. Егер F өріс болса, онда көпмүшелердің F[x] сақинасы бас идеалдар сақина болады.

Салдар 3. Егер F өріс болса, онда көпмүшелердің F[x] сақинасы факториалдық сақина болады.

Евклид алгоритмі

Бүтін сандарға сияқты берілген көпмүшелердің ортақ бөлгіші берілген көпмүшелерді бөлетін көпмүше аталады. Берілген көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгіші деп берілген көпмүшелердің кез келген ортақ бөлгішіне бөлінетін ортақ бөлгіші аталады.

Берілген f₁, f₂, …, f_k көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші әдетте (f₁, f₂, …, f_k) деп белгіленеді.

Евклид алгоритмі евклидтік сақиналарға қолдануға болады.

Егер F өрісі үшін a, b  F[x] және b  0, болса, b₁ = b деп алып, қалдықпен бөлу процесін бастаймыз:

a = b₁q₁ + b₂, deg(b₁) > deg(b₂),

b₁ = b₂q₂ + b₃, deg(b₂) > deg(b₃), (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

b_k–2 = b_k–1q_k–1 + b_k, deg(b_k–1) > deg(b_k),

b_k–1 = b_kq_k + 0.

Осы процесті нөлдік қалдық шыққанша жалғастыру керек:

Ал deg(b₁), deg(b₂),… тізбегі кемімелі болады, сондықтан ол ақырлы адымнан кейін тоқталады. Енді b_k  0 және b_k+1 = 0 болсын. Онда deg(b₁) > deg(b₂)> … > deg(b_k–1) > deg(b_k). Бүтін сандарға сияқты (a, b₁)  (b₁, b₂)  …  (b_k–1, b_k) = b_k екенін көрсетуге болады мұндағы  ассоцияланғандық белгісі. Сондықтан (a, b) = b_k және келесі теорема дәлелденді.

Теорема 2. F өрісі үстіндегі кез келген нөлден өзге көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгіші табылады.

Теорема 3 (Ең үлкен ортақ бөлгішті сызықтық түрде келтіру туралы). Егер F өріс, f(x), g(x)  F[x] және d(x) = (f(x), g(x)) болса, онда кейбір u(x), v(x)  F[x] көпмүшелері үшін

d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (4)

Мысалдар. 1) f = x⁴ – 2x³ – 4x² + 6x + 1 және g = x³ – 5x – 3 көпмүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгішін сызықтық түрде келтірейік. Ол үшін Евклид алгоритмін қолданамыз.

f  x4 – 2x3 – 4x2 + 6x + 1			x3 – 5x – 3	 g
x4 – 5x2 – 3x			x – 2  q1
– 2x3 + x2 + 9x + 1
– 2x3 + 10x + 6
x3 – 5x – 3		x2 – x – 5	 r1
x3 – x2 – 5x		x + 1  q2
x2 – 3
x2 – x – 5
x2 – x – 5	x+ 2	 r2
x2 + 2x	x – 3	 q3
–3x – 5
–3x – 6
1	 r3

Сонымен, (f, g) = 1 = r₃. Евклид алгоритмі бойынша,

f = q₁g + r₁,

g = q₂r₁ + r₂,

r₁ = q₃r₂ + r₃.

Осыдан

r₁ = f ­– q₁g,

r₂ = g – q₂r₁,

r₃ = r₁ – q₃r₂,

мұнда q₁ = x – 2, r₁ = x² – x – 5, q₂ = x + 1, r₂ = x + 2, q₃ = x – 3, r₃ = 1.

Анықтама. F өрісіндегі f(x) көмпүшесі келтірілетін (немесе құрама) көпмүше деп аталады, егер ол екі оң дәрежелі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде келтірілсе; қарсы жағдайда f(x) келтірілмейтін көпмүше деп аталады.

Теорема 4. F өрісі үстіндегі f, p көпмүшелері берілсін. Егер p көпмүшесі келтірілмейтін болса, онда p көпмүшесі f көпмүшесін бөледі немесе f және p көпмүшелері өзара жай болады. Теорема 5. F өрісі үстіндегі f₁, f₂,…, f_n және p көпмұшелері берілсін. Егер p келтірілмейтін болса және ол f₁f₂…f_n көбейтіндіні бөлсе, онда ол f₁, f₂,…, f_n көпмүшелерінің біреуін бөледі.