3. Шар және сфераны оқыту

Шар деп берілген нүктеден берілген қашықтықтан артық емес қашықтықта жататын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын денені атайды. Бұл нүкте шар центрі деп, ал берілген ара қашықтық шар радиусы деп аталады. Шар шекарасы шар беті немесе сфера деп аталады. Сонымен, сфера нүктелері центрден радиусқа тең ара қашықтықта жататын сол шардың нүктелері болып табылады.

Шар центрін шар бетінің нүктесімен қосатын кез келген кесінді де шардың радиусы д.а.

Шар бетінің екі нүктесін қосатын және шар центрінен өтетін кесінді диаметр д.а.

Кез келген диаметрдің ұштары шардың диаметральды қарама-қарсы нүктесі д.а.

Шар да, цилиндр мен конус сияқты айналу денесі болып табылады. Ол жарты дөңгелекті ось ретінде диаметрден айналдырғанда шығады (16-сурет).

Теорема. Шарды жазқықтықпен қиғандағы кез келген қимасы дөңгелек болады. Бұл дөңгелектің центрі шардың центрінен қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады (17-сурет).

Теорема. Шардың кез келген диаметрлік жазықтығы оның симметрия жазықтығы болып табылады. Шар центрі оның симметрия центрі болып табылады.

Теорема. Жанама жазықтықтың шармен бір ғана ортақ нүктесі – жанасу нүктесі – болады.

Теорема. Шар бетінің кез келген нүктесінен сансыз көп жанамалар өтеді, олардың барлығы да шарға жанама жазықтықта жатады.

Шар көлемі:

Сфера теңдеуі: , мұндағы - сфера центрі, дербес жағдайы

Теорема. Екі сфераның қиылысу сызығы шеңбер болады.

Сфера ауданы:

Бөлінгіштік қатынасы және оның қасиеттері

Анықтама. Егер бүтін a және b сандарына a = b  c болатындай бүтін c саны табылса, онда a саны b санына бөлінеді дейді. Бұл жағдайда a бөлінгіш, b бөлгіш және c бөлінді деп аталады. Белгілеу: a b.

Егер a саны b санына бөлінсе, онда a саны b санына еселі дейді.

Бөлінгіштік қатынасына кері қатынас “b саны a санын бөледі” b | a деп белгіленеді.

Теорема 1 (Бөлінгіштік қатынасының қасиеттері). Бүтін сандарға келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген бүтін a санына a a – рефлексивтік.

2. Егер a b және b a болса, онда a = –b.

3. Егер a b және b c болса, онда a c – транзитивтік.

4. Егер a b болса, онда (–a) b, a (–b) және (–a) (–b), яғни, бөлінгіш немесе бөлгіштің таңбасы өзгерсе, бөлінгіштік қатынас сақталады.

5. Егер a c және b c болса, онда (a  b) c.

6. Егер a c және b  Z болса, онда a  b c.

7. Егер a₁ c,..., a_n c болса, онда кез келген бүтін r₁,..., r_n сандарына (r₁a₁ +...+ r_na_n) c.

8. Егер а₁,…, а_n, b₁,…, b_m сандары с санына бөлінсе және r₁,…, r_n, s₁,…, s_m бүтін сандар болса, онда r₁a₁+…+ r_na_n = s₁b₁ +…+ s_mb_m + b_m+1 теңдігінен b_m+1 c шығады.

9. Нөл кез келген санға бөлінеді.

10. Кез келген сан 1-ге бөлінеді.

11. Егер a  0 болса, онда 0q = a болатындай q саны табылмайды, яғни нөлге ешқандай сан бөлінбейді.

12. Егер a b болса, онда | a |  | b |, мұндағы | a | – a санының абсолют шамасы.

13. Егер 1 a болса, онда a = 1 немесе a = –1.

14. Егер a b және b a болса, онда a = b немесе a = –b.

Дәлелдеу. 1. Бұл a = a1 теңдігінен шығады.

3. Егер a b және b c болса, онда a = bq және b = ct болатындай q мен t бүтін сандары табылады. Осыдан a = (cq)t = c(qt). Сондықтан a c.

4. Егер a b болса, онда a = bq. Осыдан –a = b(–q), a = (–b)(–q), –a = (–b)q. Сондықтан (–a) b, a (–b) және (–a) (–b)

5. Егер a c және b c болса, онда a = cq және b = ct болатындай q және t сандары табылады. Осыдан a  b = cq  ct = c(q  t). Сондықтан (a  b) c.

6. Егер a c болса, онда a = cq, q  Z. Сондықтан ab = (cq)b = c(qb) және qb  Z. Осыдан ab c.

6 және 5-қасиеттерге кері қасиеттер орындалмайтынын ескертейік. Қосынды санға бөлінесе, қосылғыштар сол санға бөліну тиісті емес. Мысалы, 35 + 13 = 48 12, бірақ 35 12. Оған қоса, көбейтінді санға бөлінесе, көбейткіштер сол санға бөлінуге тиісті емес, мысалы, 38 12, бірақ 3 12 және 8 12.

7. Бұл 5- және 6-қасиеттерден шығады.

8. Мұны дәлелдеу үшін b_m+1 = r₁a₁ +…+ r_na_n – s₁b₁ – s_mb_m екенін ескертейік. Енді 4– және 5-қасиеттерді қолдану керек.

9. Бұл 0 = a0 теңдігінен шығады.

10. Бұл a = 1a теңдігінен шығады.

11. Егер a  0 болса, онда a  0a.

12. Егер a = bq болса, онда | a | = | b |  | q | және | q | ≥ 1. Сондықтан | a | = | b |  | q |  | b |.

13 Егер 1 a болса, онда 11-қасиеттен 1  | a | шығады. Сондықтан a = 1.

14. Егер a b және b a болса, онда 11-қасиеттен | a |  | b | және | b |  | a | шығады. Осыдан a = b.

Анықтама. Бірлігі бар коммутативтік K сақинасындағы көпмүше а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ түріндегі формальды қосынды аталады, мұндағы n теріс емес бүтін сан, a_i  K, x айнамал немесе белгісіз деп аталатын арнайы символ.

K сақинасындағы көпмүшелер жиыны K[x] деп белгіленеді.

Егер f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ  K[x] көпмүшесі берілсе, онда a_i элементтері f(x) көпмүшесінің коэффициенттері, a_ixⁱ қосылғышы көпмүшенің мүшесі деп аталады. Жалғыз мүшеден құралған a_ixⁱ көпмүшесі бірмүше деп аталады. Коэффициенттері бәрі нөлге тең көпмүше нөлдік көпмүше деп аталады және 0 деп белгіленеді.

Анықтама. Егер f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ және g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² +…+ b_nxⁿ көпмүшелеріне a₀ = b₀, a₁ = b₁,…, a_n = b_n болса, онда f(x) және g(x) көпмүшелері тең деп есептеледі.

Басқа сөзбен айтқанда, екі көпмүшенің сәйкес коэффициенттері тең болса, онда олар тең болады,.

f(x) = а₀ + а₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ және g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² +…+ b_mx^m көпмүшелерінің қосындысы f(x) + g(x) = (а₀ + b₀) + (а₁ + b₁)х + (a₂ + b₂)x² + …+ (а_s + b_s)x^s деп анықталады, мұнда s = max(m, n).

f(x) және g(x) көпмүшелерінің көбейтіндісінің h(x) = с_о + с₁х + с₂х² +…+ с_n+mx^n+m көпмүшесі болады. Оның коэффициенттері с_k = а₀b_k + а₁b_k–1 + а₂b_k–2 +…+ а_kb₀ формуласымен есептеледі.