2. Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру

Мысал 1. қосындысын ықшамдайық.

егер

егер

4. Кері тригонометриялық өрнектерді түрлендіру

1)

Есептендер:

Шешуі: Берілген өрнекті А әрпімен белгілейік.

-ны есептейік.

3. Жазықтықтың әр түрлі тәсілдермен берілуі. Жазықтықтың жалпы және нормаль теңдеулері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.Екі жазықтықтың өзара орналасуы. Екі жазықтық арасындағы бұрыш.

Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Ал

теңдеуі нүктесі арқылы өтетін және векторына перпендикуляр жазықтық теңдеуі деп аталады. Белгілі бір жазықтық координаталар осьтерінде сәйкесінше кесінділерін қиып өтсін. Онда нүктелері жазықтық пен координаталар остерінің қиылысу нүктелері болады. Онда, жоғарыда келтірілген теңдеу түріне келеді.

Бұл теңдеу жазықтықтың кесіндідегі теңдеуі деп аталады. .

Бұл теңдеу жазықтықтың нормаль теңдеуі деп аталады. Жазықтықтың жалпы теңдеуінен нормаль теңдеуді алу үшін жалпы теңдеуді нормалау көбейткішіне көбейту керек. Оның таңбасын жалпы теңдеудегі бос бүшесінің таңбасына қарама қарсы етіп таңдайды. нүктесінен жазықтығына дейінгі арақашықтық келесі фомула бойынша есептеледі

.

Егер жазықтық нормаль теңдеумен берілсе, онда ол келесе формула бойынша есептеледі

.

, жазықтықтары берілсін. Онда осы жазықтықтардың арасындағы бұрыш ретінде, олардың нормаль векторларының арасындағы бұрышты алуға болады.

4. Дербес туындыларын есептеңіз:

№22 Билет

1. “Көпжақтар” тақырыбын оқыту әдістемесі.

Көпжақтар тақырыбын үйрену үшін мынадай көрнекілікті қолданған тиімді.

Призма	Параллелепипед	Пирамида
Призма көлемі:	Параллелепипед көлемі: Куб көлемі:	Пирамида көлемі: Пирамида ауданы: , мұндағы (р-табанының периметрі, h-апофема)

1. Призма тақырыбын оқыту

Көпжақ деп саны шекті жазықтықтармен шектелген денені атайды. Көпжақ өзін шектейтін жазықтықтардың әрқайсысының бір жағында жатса, ол дөңес көпжақ д.а. Дөңес көпжақтың беті мен оны шектейтін жазықтықтың ортақ бөлігі жақ д.а. Жақтардың қабарғаларын- көпжақтың қырлары деп, ал төбелерін көпжақтық төбелері деп атайды. Куб-дөңес көпжақ

Призма деп параллель екі жазықтықтың арасындағы, жазықтықтардың арасындағы, жазықтықтардың бірінде жазық көпбұрыш қиып өтетін, барлық параллель түзулердің кесінділерінен жасалған көпжақты атайды. Призманың осы жазықтықтарда жатқан жақтары призманың табандары деп аталады. Басқа жақтары бүйір жақтары деп аталады. Барлық бүйір жақтары – параллелограмдар. Призма табандарының төбелерін қосатын қырларын бүйір қырлары деп атайды. Призманың барлық бүйір қырлары параллель болады.

Табан жазықтықтарының ара қашықтығы призманың биіктігі д.а.

Оның бір жағына тиісті емес екі төбені қосатын кесінді призманың диогоналы д.а.

Призманың диогоналдық қимасы деп оның бір жағына тиісті емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы атайды.

Бүйір қырлары табандарына перпендикуляр болатын призма тік призма д.а. Олай болмаған жағдайда көлбеу призма д.а.

Тік призманың табандары дұрыс көпбұрыштар болса, ол дұрыс призма д.а.

Призманың бүйір беті деп бүйір жақтары аудандарының қосындысын атайды.

Призманың толық беті бүйір беті мен табандары аудандарының қосындысына тең.

Теорема. Тік призманың бүйір беті табанының периметрін призманың биіктігіне, яғни бүйір қырының ұзындығына көбейткенге тең болады.

Призма көлемі:

2. Параллелепипед тақырыбын оқыту

Егер призманың табаны параллелограмм болса, онда ол параллелепипед деп аталады. Параллелепипедтің барлық жақтары – параллелограмдар.

Параллелепипедтің ортақ төбелері болмайтын жақтары қарама-қарсы жақтары деп аталады.

Теорема. Параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары параллель және тең болады.

Теорема. Параллелепипедтің диагональдары бір нүктеде қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.

Табаны тік төртбұрыш болатын тік паралелепипед тік бұрышты паралелепипед д.а. Тік бұрышты паралелепипедтің барлық жақтары- тік төртбұрыштар.

Барлық қырлары тең болатын тік бұрышты паралелепипед куб д.а.

Тік бұрышты паралелепипедтің параллель емес қырларының ұзындықтары оның сызықтық өлшемдер д.а.

Теорема. Тік бұрышты параллелепипедтің кез келген диагоналының квадраты оның сызықтық үш өлшемі квадраттарының қосындысына тең болады.

Параллелепипед көлемі:

Куб көлемі:

3. Пирамиданы оқыту әдістемесі

Пирамида деп берілген нүктені – пирамида төбесін – жазық көпбұрыштың – пирамида табанының нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден жасалған көпжақты атайды. Пирамиданың беті табаны мен бүйір жақтарынан тұрады. Әрбір бүйір жағы – үшбұрыш. Оның төбелерінің бірі – пирамиданың төбесі, ал оған қарсы жатқан қабырға – пирамида табанының қабырғасы болып табылады. Пирамиданың бүйір қырлары деп пирамида төбесін табанының төбелерімен қосатын қырларды атайды. Пирамида биіктігі деп пирамиданың төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикулярды атайды (15-сурет)

Теорема. Пирамиданың табанына параллель және оны қиып өтетін жазықтық одан ұқсас пирамида қиып түсіреді.

Пирамиданың табаны дұрыс көпбұрыш болса, ал биіктігінің табаны осы көпбұрыштың центрімен дәл келсе, онда ол дұрыс пирамида д.а.

Дүрыс пирамиданың бүйір қырлары өзара тең, бүйір жақтары-тең бүйірлі үшбұрыш болады.

Дұрыс пирамиданың бүйір жағының төбесінен жүргізілген биіктігі апофема д. а.

Пирамиданың бүйір беті- оның бүйір жақтары аудандарының қосындысын атайды.

Теорема. Дұрыс пирамиданың бүйір беті табанының жарым периметрін апофемасына көбейткенге тең.

Пирамида көлемі:

Пирамида ауданы: , мұндағы (р-табанының периметрі, h-апофема)

2. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы. Бернулли схемасы. Ең үлкен сан және ең үлкен ықтималдықтар. Пуассон формуласы.

Толық ықтималдық формуласы Анықтама. Н₁, Н₂,………Н_п кездейсоқ оқиғаларының толық тобы деп мына екі шарт орындалуын айтады.

2. бұлардың бірлестігі оқыйғалар кеңістігі, яғни Н_{1 =Е}

3. бұларды қос-қостан алғанда бірікпейтін , яғни болу керек. Толық ықтималдық формуласын мына теорема түрінде дәлелдеген.Осы дәлелдеуді іске асырған А.Н. Колмогоров.

Теорема 1: Н₁, Н₂,………Н_п –оқиғалардың толық тобы және Р(н_i) 0 1 болсын. Сонда кез-келген А F оқыйғасы үшін Р(А)= толық ықтимылдықтың формуласы деп аталады.

Байес формуласы

Т-а оқиғалары толық топ құратын болсын және әрбір үшін шарты орындалса. болатындай кез-келген кездейсоқ оқиғасы үшін теңдігі орындалады.

Д/у Шартты ықтималдықтың анықтамасы бойынша

осы теңдіктің оң жағындағы тұрған бөлшектің алдымен ықтималдықтары көбейту, ал бөліміне толық ықтималдықтың формуласын қолданса, онда мына қатынас шығады:

біз дәлелдеу керегі осы еді.