2. Коши есебі:

Айталық бірінші ретті дифференциалдық теңдеу берілсін. Бұл теңдеу туындысына қарағанда шешілген болсын. Яғни

(4)

болсын.

Анықтама: (4) дифференциалдық теңдеудің мынадай бастапқы шартты

(5)

шартты қанағаттандыратын шешімін табу Коши есебі деп аталады.

(4) дифференциалдық теңдеу үшін шешімнің бар болуы мен жалғыз болуы туралы мына теорема орынды.

Теорема:Айталық (4) теңдеу мен (5) шарт берілсін.Егер нүктесінің кейбір маңайында дербес туындысы шектелген болса, онда кесіндісі табылып ,ол кесіндіде жалғыз ғана үздіксіз функциясы бар болып ,ол функия (4) теңдеуді және (5) шартты қанағаттандырады..

1. Интегралдаудың элементарлық әдістері.

Айнымалылары бөлінетін немесе ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп

(1)

түрдегі теңдеуді атайды. Бұл теңдеуді мен -тің көбейтіндісіне бөлсек

(2)

айнымалылары бөлінген немесе ажыратылған теңдеуді аламыз. Берілген теңдеудің жалпы шешімі

(3)

болады.

Дербес жағдайда (4)

теңдеу айнымалылары бөлінген, сондықтан

(5)

қатыс х–ты белгісіз функция у-ті және кез келген тұрақты с санының арасындағы байланысты береді, демек (5) өрнек (4) теңдеудің жалпы шешімі болады.

Нормалдық түрде берілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз.

(6)

Егер (6) теңдеудің оң жағы біреуі тек х тен, екіншісі тек у тен тәуелді болатын екі функцияның көбейтіндісі түрінде жазылса, онда (6) теңдеу айнымалылары бөлінетін теңдеу болады.

Демек,

онда

немесе

Бұл айнымалылары бөлінген теңдеу және дифференциалдары өзара тең, сондықтан олардың интегралдары өзара тұрақтымен айырмалатыны белгілі

мұндағы с кез келген тұрақты сан, демек бұл өрнек (6) теңдеудің жалпы шешімі болады.

Ескерту. Дифференциалдық теңдеуді M₂ (x) пен N₁ (y) көбейтіндісіне бөлгенде

деп жорыдық, сондықтан бұл көбейтіндіні нөлге айналдыратын дербес шешімнің жоғалуы мүмкін.

Анықтама: Мына

(7)

түріндегі теңдеу айнымалылары бөлектенген дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеудің жалпы шешімі немесе жалпы интегралы былай табылады:

яғни жеке-жеке интеграл алсақ болғаны. Бұндағы С-интегралдау тұрақтысы.

2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

айнымалылары бөлінетін теңдеу екені көрініп тұр, егер оны былай жазсақ

Енді бөлеміз

немесе

Бұдан

немесе .

Мына , мұндағы а, в,с тұрақты сандар, дифференциалдық теңдеуді жаңа айнымалыны енгізіп, айнымалылар бөлінетін теңдеуге келтіріп шешу керек.

1.Біртекті теңдеулер.

1. Егер кез-келген саны үшін функцияға қатысты

түріндегі теңдеу орындалатын болса ,онда функция өзінің аргументтеріне қатысты «n-өлшемді» біртекті функция деп айтылады.

Егер

(1)

түріндегі теңдік орындалса, қарастырылып отырған функция өзінің аргументтеріне қатысты 0 өлшемді біртекті функция деп аталады.

Мысалы функция өзінің аргументтеріне қатысты 0-өлшемді біртекті функция. Шындығында ,

Айталық, туындыға қатысқан шешілген бірінші ретті теңдеуді қарастырайық.

(2)

Біртекті теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама: Дифференциалдық теңдеуді

(3)

біртекті деп атайды, егер P(x,y) пен Q(x,y) функциялары бірдей өлшемді біртекті функциялар болса, демек тепе- теңдіктер орындалады.

(3) дифференциалдық теңдеуді мына түрге

(4)

келтіруге болады. Бұл теңдеуді (5)

алмастыруы арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеуге келтіруге болады, мұндай теңдеулердің интегралдауы белгілі.

Дифференциалдық теңдеу

(6)

мұндағы кез-келген тұрақты сандар. Егер

(7)

Онда (8)

алмастырулары арқылы біртекті теңдеуге түрленеді.

Мұндағы белгісіз коэффиценттері төмендегі теңдеулер жүйесінен анықталады

Сонан соң (8) өрнектен анықтап, берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

Егер де болса, онда а₁х+b₁y=z алмастыру берілген теңдеуді айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеуге түрлендіреді.

1. Біртекті теңдеудің нормальды түрге келтіреміз

Демек, ,

біртектілігіне көз жеткіздік. (3) алмастырудан

Сонда -бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу.

Енді

ескеріп

u дың орнына (5) қойып берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.