1. Түріндегі интегралддар.

Егер

Сондықтан

болатынын еске алып, теңдіктердің екі жағын да санына бөліп, сонан кейін интегралдасақ, мынадай нәтиже шығады:

Дербес туындылы бірінші ретті сызықты теңдеулер. Бірінші ретті біртексіз дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер туралы негізгі түсініктер. Характеристикалар. Коши есебі.

Дербес туындылы бірінші ретті сызықты теңдеулер.

Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:

(1)

Мұндағы u - белгісіз функция, x₁„..,х_n тәуелсіз айнымалылар. Ғ- кейбір D₁R²ⁿ⁺¹ облысында екі pет үздіксіз дифференциалданатын функция болсын.

Анықтама. Кейбір D₂Rⁿ облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын u=ф(x₁,..., x_n) функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей шарттарды қанағаттандырса:

1)

2)

Бұл u=(x₁,..., x_n) функциясы - кеңістігінде кейбір бетті анықтайды. Осы бетті берілген теңдеудің интегралдық беті деп атайды.

Бірінші ретті дербес туындылы тендеулерді интегралдау әдетте жәй дифференциал тендеулер жүйесін интегралдауға келтіріледі. Сондықтан, мұндай теңдеулер жәй дифференциал теңдеулер бағдарламасына енгізілген.

Біз бұл жерде бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің тек екі сызықты түрін ғана қарастырамыз.

Алдымен, біртекті сызықты теңдеуді қарастырайық:

(2)

Мұндағы, f_i - функциялары кейбір DRⁿ облысында үздіксіз дифференциалданатын және бәрі бірдей нөлге айналмайтын функциялар деп есептелінеді. Бұл (2) теңдеуге төмендегідей жәй дифференциал теңдеулердің симметриялық түрі сәйкес қойылады.

(3)

Осы жүйені (2) теңдеудің сипаттаушы жүйесі деп атайды. Оның интегралдық қисықтары (2) теңдеудің сипаттауыштары (характеристикалары) деп аталады. Бүл жүйенің барлық уақытта шешімдері бар және ол жалғыз. Сондықтан, D облысының әрбір нүктесі арқылы тек бір ғана сипаттауыш өтеді және олардың тәуелсіздерінің саны n-1 ге тең, себебі, ол n-1 ретті қалыпты жүйеге эквивалент.

Теорема-1. D облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын u=(x₁,..., x_n) функциясы (2) теңдеудің шешімі болуы үшін оның (3) жүйенің интегралы болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема-2. Берілген (2) теңдеудің жалпы шешімі

u=(₁,..., _n)

түрінде анықталады. Мұндағы, -кез келген үздіксіз дифференциалданатын функция, ал ₁,..., _n - (3) жүйенің тәуелсіз интегралдары.

Бірінші ретті біртексіз дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер туралы негізгі түсініктер.

1. Біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық:

(1)

Мұндағы, f_i - функциялары кейбір DRⁿ облысында үздіксіз дифференциалданатын және бәрі бірдей нөлге айналмайтын функциялар деп есептелінеді.

Бұл теңдеуді біртекті сызықты түрге келтіру арқылы интегралдайды. Ол үшін шешімді айқындалмаған функция түрінде іздейді:

(x₁…x_n) = 0 (2)

Мұндағы,  - функциясын D облысында үздіксіз дифференциалданатын және деп аламыз. Осы қатынасты кез келген х_i бойынша дифференциалдайық:

(3)

(3) өрнекті (1) теңдеуге қойып, оны - бөлшегіне көбейтсек,

тендеуін аламыз. Бұл v бойынша біртекті сызықты тендеу.

Біртекті және біртексіз сызықты теңдеулер үшін Коши есебі былай қойылады: теңдеудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі түрақталған жагдайда белгіді бір n - і - өлшемді бетке айналатын дербес шешімді анықтау керек, яғңи u=₁(x₁,...,x_n) шешімінің х_п=х°_п болғанда белгілі (х₁,...,х_п-1) функциясына тең болатын шешімді табу керек. Мұны қысқаша

түрінде жазады.

Мысалы, екі өлшемді дербес туындылы

=0

теңдеуі үшін Коши есебі былай қойылады : z=(x,y) шешімінің х=х₀ болғанда z= (y) шартын қанағаттандыратын шешімді іздеу. Ол барлық интегралдық беттердің ішінен z= (y) қисығы арқылы өтетін бетті табу болып есептелінеді.

Жалпы жағдайда Коши есебінің шешімін табу қиындық тудырмайды. Мысалдар.

теңдеуіңің жалпы шешімін табайық. Сәйкес сипаттаушы симметрия жүйесін құрайық:

Осыдан

интегралдарын табамыз. Бұл жағдайда жалпы шешім

түрінде жазылады. Дифференциалдау арқылы бұл функцияның шешім болатынына көз жеткізу оңай.