3.Негізгі элементар функциялардың туындылары

1. у=c y^/=0

2. y=x y^/=1

3. y=x y^/=

Дербес жағдайлары:

4. y= a^x (0 < a ≠ 1)

Дербес жағдайы:

y = e^x

5. y=log_ax (x > 0, 0 < a ≠ 1) ^,

Дербес жағдайы:

y= lnx

6. y = sin x

7. y = cosx

8. y = tgx; ( )

(n=0, ±1, ±2,…)

9. y= ctg x ( )

10. y= arcsinx (-1<x<1)

11. y= arccosx (-1<x<1)

12. y= arctgx

13. y= arcctgx

Функция дифференциалы. Функцияны дифференциалдаудың ережелері. Жоғары ретті туындылармен дифференциалдар.

u= функциясының М нүктесінің бірер маңайында х_i аргументі бойынша дербес туындысы бар делік. Егер -дің М нүктесінде х_к аргументі бойынша дербес туындысы бар болса, онда бұл туынды u= функциясының х_i ,х_к аргументтері бойынша екінші ретті дербес туындысы деп аталады және мына символдардың бірімен белгіленеді:

Үшінші ретті дербес туындылар екінші ретті дербес туындылардың туындылары ретінде анықталады т.т.

2. u= функциясынан әр түрлі аргументтер бойынша алынған жоғары ретті дербес туындылары аралас туындылар деп аталады.

Анықтама. Егер u= функциясының n-1 ретті барлық дербес туындылары М₀ нүктесінде дифференциалданса,онда u= функциясы М₀ нүктесінде n рет дифференциалданатын функция деп аталады.

2. u=f(x,y)функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінің бірер маңайында дифференциалданатын функция болсын. Ал осы функция М₀ нүктесінде екі рет дифференциалдансын. Сонда толық дифференциалдансын.

Сонда толық дифференциал (мұнда )да х пен у –тің функциясы болатын даусыз.

Ендеше u=f(x,y) функциясының М₀ нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы du-дан дифференциал ретінде анықталады.

Сөйтіп, анықтама бойынша

Екінші дифференциалға ұқсас түрде үшінші, төртінші, т.т. ретті дифференциалдар анықталады.

Кейде жоғары ретті дифференциалдардың жазылысын жеңілдету мақсатында мынадай символдық жазылыс та жиі қолданылады:

Бұл формуланы былай ұғыну керек: әуелі жақша ішіндегі көпмүшелікті формальді түрде n-ші дәрежеге шығару керек.Сонан кейін шыққан мүшелер u-ға көбейтіледі де символдарының қасына алымдарға жазылады. Ақырында, барлық символдарға олардың бұрынғы туындылық және дифференциалдық мағыналары қайта беріледі.

4. Егер функциясы М₀( ) нүктесінің бірер маңайында n+1 рет дифференциалданса, онда осы маңайында кез келген М( ) нүктесі үшін мына теңдік орындалады:

(1)

Бұл жерде Р -М₀М кесіндісінде жататын бірер нүкте.

(1) формула функциясы үшін жіктеудің центрі М₀ нүктесі болатын Тейлор формуласы деп аталады.

(х₁, х₂, ..., х_n ) нүктесі функциясының анықталу облысының ішкі нүктесі болсын. Бұл функцияның М(х₁, х₂, ..., х_n ) нүктесінде х_к аргументтің ∆х_к өсімшесін қарастырайық.

∆х_к u=

Анықтама. Егер бар болса, онда

Бұл шек u= функциясының М нүктесінде х_к аргументі бойынша дербес туындысы деп аталады және мына символдардың бірімен белгіленеді:

Мысал. z=arctg функцияның дербес туындыларын табайық.

Анықтама: егер D облысында берілген z=f(x,y) функциясының М₀(х₀,у₀) нүктесіндегі толық өсімшесі түрінде жазылған болса, бұл жерде А және В –тұрақтылар, ал ∆х0, ∆у0 да , ол функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады.

Дифференциалданатындайтын теореманы келтірейік.

Теорема-1. Егер z=f(x,y) функциясы М₀(х₀,у₀) нүктесінде дифференциалданса, онда осы нүктеде дербес туындылары бар болады.

Сонымен бірге . Сондықтан (1) формуланы

(2)

түріне жазуға болады.Басқаша айтқанда

Бірақ керісінше тұжырымдау дұрыс болмайды. Басқаша айтқанда дербес туындылардың барлығынан функцияның дифференциалдануы шықпайды.

3. Енді дифференциалданатындықтың жеткілікті шартын тұжырымдайық.

Теорема-2. Егер z=f(x,y) функциясының

1. дербес туындылары тек М₀(х₀,у₀) нүктесінде ғана емес, оның қандай да болса бір маңайында бар болса,

2. ол дербес туындылар М₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда z=f(x,y) функциясы осы нүктеде дифференциалданатын функция болады.

Дербес туындылардың үзіліссіздігі дифференциалданудың тек жеткілікті шарты болатыны мына мысалдан айқын көрінеді:

Функциясының О(0;0) нүктесінің бірер маңайында дербес туындылары бар және ол функция осы нүктеде дифференциалданады, бірақ дербес туындылары О(0;0) нүктесінде үзіліссіз емес.

Шынында, О(0;0) нүктеден өзге нүктелерде дербес туындыларды дифференциалдау ережелері бойынша табуға болады.

3.Сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

№15 Билет

1. Рационалдық бөлшектерді, иррационалдықтарды, дифференциалдық биномдарды интегралдау. Тригонометриялық және трансценденттік функцияларды интегралдау.

Рационалдық бөлшектерді, иррационалдықтарды, дифференциалдық биномдарды интегралдау. Тригонометриялық және трансценденттік функцияларды интегралдау.

Егер бүтін рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдауға болады, атап айтқанда

2. Егер алымы да, бөлімі де көпмүшеліктер болатын түріндегі бөлшек рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдау басым көпшілік жағдайда мүмкін емес.

Егер көпмүшелігінің дәрежесі көпмүшелігінің дәрежесінен төмен болмаса, -ті -ге бөлсек, берілген бөлшек рационалдық функциямына қосынды түрінде жазылар еді.

1. 

Бұнда ψ(х) көпмүшелігі деп -ті -ге бөлуден шыққан бүтін бөлікті, ал g(х) арқылы дәрежесі -дің дәрежеснен төмен болатын қалдықты белгіледік. Сонда дұрыс бөлшек болады.

Дұрыс рационалдық бөлшегін 2. 3.

Түріндегі жай бөлшектердің қосындысына қалай жіктеуге болатындығы жоғары алгебра қурсынан бізге белгілі.

Бұндағы А,В,С, а, р, q-нақты сандар, ал үшмүшелегінің нақты түбірі жоқ, яғни болады.

Сонда дұрыс рационалдық бөлшегін интегралдау осы жай бөлшектерді интегралдауға келтіріледі.

интегралы рекурренттік формула, яғни интегралын интегралы арқылы табу жөніндегі формула бойынша шығарылады, атап айтқанда

деп түрлендіріп алғаннан кейін соңғы интегралға бөліктеп интегралдау әдісін қолдансақ,

1-мысал: интегралын есептеңіз

Мұндағы х²+рх +q квадрат үш мүшелігінің нақты түбірлері жоқ деп алсақ та жеткілікті, басқа жағдайда бұл интеграл II түрдегі интеграл болады. Сонда осы үш мүшеліктің толық квадратын бөліп алуымыз керек:

х²+рх +q

Иррационал интегралдау

Бірқатар жағдайларда ыңғайлы ауыстырулар тауып алу нәтижесінде иррационалдық функцияны интегралдауды рационалдық функцияларды интегралдауға келтіруге болады. Бұл тәсілді рационалдау деп аталады.

1. Интеграл. түрінде берілген. Бұнда n –натурал сан, символ R жақшаның ішіндегі шамаларға тек рационалдық амалдар ғана қолданылатынын бейнелейді.

Егер айнымалыны

формуласы бойынша ауыстырсақ,

болады да, қарастырып отырған интеграл

Түріндегі айнымалы t-ның рационалдық функциясының интегралына ауады.

2. түріндегі интегралдар. (мұнда а≠0)

Бұл түрдегі интегралдар үшін мына үш жағдай болуы мүмкін:

1. а>0 болған жағдай. Бұл жағдайда Эйлердің бірінші ауыстырымасы деп аталатын

формуласы бойынша ауыстырамыз.

2. а<0 болған жағдай. үшмүшелігінің түбірлері нақты сандар деп есептеп, оларды α және β деп белгілейік. Сонда деп жазылады.

Айнымалыны Эйлердің екінші ауыстырмасы деп аталатын формуласы бойынша ауыстырамыз.

3. с>0 болған жағдайда ғана қолданылатын Эйлердің үшінші ауыстырмасы

түрінде болады.

Биномдық дифференциалды интегралдау.

1. Бірқатар жағдайларда ыңғайлы ауыстырулар тауып алу нәтижесінде иррационалдық функцияны интегралдауды рационалдық функцияларды интегралдауға келтіруге болады. Бұл тәсілді рационалдау деп аталады.

түріндегі интегралдар. Бұндағы m, n, p-рацирнал сандар, а және b –кез –келген 0-ден өзге нақты сандар, өйткені а=0 немесе b=0 болған жағдайда бұл интеграл қарапайым ғана интеграл болар еді. Интеграл астындағы мына: шаманы биномдық дифференциал деп атайды.

2. Чевышевтың теоремасы. Анықталмаған интеграл

тек сандарының ең болмағанда біреуі бүтін сан немесе нөл болғанда ғана рационалдық функцияның интегралына келеді, демек, алгебралық функция, логарифмдік функция мен тригонометриялық функция арқылы өрнектеледі. Егер бұл санның бірде-бірі бүтін сан тболмаса, биномдық дифференциалқандай әдіс қолданылса да интегралданбайды.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау

дәріс жоспары

1. түріндегі интегралдар

2. түріндегі интегралдар

Жиірек кездесетін интегралдардың бірнеше типін қарастыралық. Олар :

1. (1)

формуласы бойынша айнымалыны ауыстырсақ,

Болғандықтан қарастырылып отырған (1) интеграл мына түрде келеді:

Бұл интеграл t-нің рационалдық функциясының интегралы болады. Соңғы интегралды шығарып болғаннан кейін қайтадан аргумент t-ден х-ке көшу керек.

2. (2)

Бұл түрдегі интегралдар мына жағдайларда жеңіл интегралданады:

1. Егер m=2k+1 –тақ натурал сан болса, айнымалы х-ті t=cosx формуласы бойынша ауыстыру керек.

2. Егер n=2k+1- тақ натурал сан болса, айнымалыны t=sinx формуласы бойынша ауыстыру керек.

3. Егер m+n=0, m мен n –бүтін сандар болса, m>0 болған жағдайда (2) интеграл

(3)

түріне, ал n>0 болған жағдайда (2) интеграл

(4)

түріне келеді.

Сонда (3) жағдай үшін айнымалы х tgx=t бойынша ауыстырылады, ал (4) жағдай үшін айнымалы х-ті х сtgx=t формуласы бойынша ауыстыру керек.

3). интегралын есептегенде n мен т бүтін сандарының қандай болатындығына қарау керек. Егер п + т қосындысы теріс жұп сан болса, онда tgx = z ауыстыруын енгізген тиімді:

Трансценденттік функцияларды интегралдау

дәріс жоспары

1. түріндегі интеграл

2. түріндегі интеграл