2. Интегралдаушы көбейткіштер.

Егер симметриялы түрде берілген дифференциалдық теңдеуде

Р(х,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)

дербес туындылар тең болса

(2)

онда (1) теңдеуді толық дифференциалдық теңдеу деп атайды,

оны

(3)

жазуға болады. (1) теңдеудің жалпы шешіммі функциясының анықталатыны белгілі:

(4)

немесе

(4^/)

Мұндағы белгілі нүктелер.

(1) дифференциалдық теңдеу әруақта толық дифференциалды болмайды, демек (2) шарт әр уақытта орындалмайды. Егер (1) теңдеудің сол жағы толық дифференциал болмаса және функциясы табылып, ол

(5)

болса, онда -ді интегралдық көбейткіш деп атайды. (5) теңдеу үшін

немесе

(6)

Бұл интегралдық көбейткішке қарай дербес туындылы теңдеу. Жалпы айтқанда, (6) теңдеуді шешу берілген теңдеуді шешуден әлдеқайда күрделі. Сондықтан бұл есептің шешімін интегралдық көбейткіш не тек, тен, не тек у тен тәуелді деп есептеп табуға болады.

1⁰. Айталық болсын, онда (6) өрнектен

(7)

2⁰. болсын, онда (6) өрнектен

(8)

2. А(1,2,3), В(3,2,0), С(4,5,6) , D(0,0,1) нүктелерi берiлген. АВСD тетраэдрдiң көлемiн табыңдар.

№14 Билет

1. Математиканы есептер арқылы оқыту әдістемесі. Математиканы оқытудағы есептердің маңызы және атқаратын функциясы бойынша классификациялау. Есептер шешуді оқытудың жалпы мәселесі.

Орта мектепте математикалық есептер жалпы алғанда теорияны,

математиканың әдістері мен ұғымдарын меңгеруге қажетті бірден бір

шешімді құрал болып есептеледі. Оқушылардың ойлау қабілетін дамытуда, тәрбие беруде және оқушыларға математиканың тәжірибелік істерге қолданылуы туралы білім, біліктілік қалыптастыруда есептердің атқаратын рөлі зор. Математикалық есептерді дұрыс шешкізіп, оқытудың жаңа әдіс тәсілдері арқылы жоғары деңгейдегі математикалық білім, біліктілік, дағды қалыптастыруға болады. Математикалық есептер:

а) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету үшін;

б) тәжірибелік іскерліктер мен дағдыларын қалыптастыру;

в) білімнің тереңділігі мен баяндылығын тексеру;

г) оқушылардын шығармашылық қабілетін тәрбиелеу үшін

пайдаланады. Оқу процесінде есеп оқушыларды жаңа математикалық

біліммен қаруландырып, қалыптасқан білім мен біліктілігін жүйелеуге және нақтылауға көмектеседі.

Математиканы оқыту процесінде есептердің білім берерлік, тәжірибелік, дамытушылық, тәрбиелік мәні зор, соларға тоқталайық:

а) математикалық есептердің білім берерлік мәні. Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар жаңа ұғымдарды, жаңа мәселелерді таниды. Есеп шарты бойынша жаңа ұғымдармен танысады, математикалық теорияның есептер шешуге қолданылуын, есептер шешудің жаңа әдістерін танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады және т.б.

б) математикалық есептердің практикалық мәні.

Практикалық қажеттілігі бар барлық есептерде математикалық есептер шешуге тура келеді. Математикалық есептер физикада, химияда т.б. жаратылыстану пәндерінде, электротехника мен радиотехникада, ең алдымен олардың теориялық негіздерін түсіндіруге қажет.

Математика сабақтарының мақсаты математикалық теорияларды, идеяларды, заңдар мен заңдылықтарды үйретумен бірге,

оқушыларға бағдарламада көрсетілген білім мен біліктілікті қалыптастыру болып табылады.

Сонымен практикалық білімін және біліктігін қалыптастыру сабағына:

1) жұмыстың мақсатын анықтау;

2) оларды орындау ережелерін теориялық негіздеу;

3) жұмысты орындау үлгісін көрсету;

4) жаттығулар орындау;

5) қорытынды жасау;

6) үйге тапсырма беру сияқты құрылымдық элементтер енуі мүмкін.

в) математикалық есептердің дамытушылық мәні. Есептер арқылы дамытушылықтың мәні оның ойлауы, еске сақтауы, елестетуі, осы және басқа да қабілеттері мен ерекшеліктері оның тұлға ретінде дамуы болып табылады. Оқушы оқытуға байланысты дамытылады деп есептеледі.

Сондықтан дамыту дегеніміз оқыту, оқыту дегеніміз дамыту деп түсінуге

болады. Дамыту мен оқыту айтылымдары тұрақты болуы мүмкін емес, ол

білім берудің мақсаттары мен міндеттерінің өзгеруіне байланысты өзгеріп отырады. Қазіргі кезде дамытуда оқушы тұлғасын біртұтас дамыту ретінде түсіну керек.Ол оқушылар үшін олардың қабілеттерін,

қызығушылықтарын, бейімділіктерін жан–жақты және үйлесімді дамыту

үшін, мәдениетті, жоғары адамгершілікті, белсенді шығармашылықты және әлеуметтік кемелденген тұлға қалыптастыруды бағамдайды.

г) математикалық есептердің тәрбиелік мәні. Есептер өзінің мазмұны арқылы оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыруға, табиғатты ғылыми жағынан танудың негізгі заңдылықтарының математикадағы көрінісін бейнелеуге тәрбиелейді.

Математикалық есептерді шешу арқылы оқушылар көптеген

математикалық ұғымдарды меңгереді, математикалық таңбаларды біледі, дәлелдеу жолын үйренеді. Математиканы есептер арқылы оқыту логикалық ойлауды дамытуға, ойымыздың анықтылығын, ойлау жолының дәлдігін, таңбаларды қолдана білу мен еске сақтау қабілеттерін қалыптастыруға үйретеді. Есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, қалыптасқан білім мен біліктілігін жүйелеуге, нақтылауға көмектеседі.

1) Математикалық ұғымдарды меңгеруге арналған есептер.

Математикалық есептерді шешу, жаттығуларды орындау арқылы оқушылар көптеген математикалық ұғымдарды меңгереді.

2) Математикалық таңбаларды түсіндіруге арналған есептер.

Математикалық таңбаларды дұрыс қолдану арқылы есептер дұрыс шешімін табады. Сондықтан математиканы оқытудың негізгі салаларының бірі – математикалық таңбаларды игеру, амалдардың орындалу ретін түсіндіру болып табылады. Мәселен, жақшаны ашқанда таңбалардың өзгеру, өзгермеу белгілері, амалдар қатар келгенде қайсысын бұрын орындау және т.б.

Сондықтан белгілермен жұмыс жүргізгенде есептерге зор көңіл бөлу керек.

3) Дәлелдеуді оқытуға қажетті есептер. Математиканы оқытудың

маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеулерді үйрету. Элементар

есептерді шешу зерттеуді, дәлелдеуді қажет етеді, яғни мұндай дәлелдеу

арқылы есептердің жауабын іздеу олардың дұрыс шешімін табуға мүмкіндік береді.

4) Математикалық іскерлігін қалыптастыруға арналған есептер.

Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі - математикалық

іскерлігін қалыптастыру болып табылады. Есеп шығару барысында

оқушылардың жаңа тәсілдерді меңгеру, алгоритмдерді құру, өрнектерді

ықшамдағанда амалдар қолдану арқылы іскерліктері шыңдала түседі.

Мазмұнды есептерді шешуде іскерлігін қалыптастыру едәуір қиындық туғызады. Себебі, оның құрамына есепті талдау, есептің моделін құру, теңдеу құру және т.б. амалдарды орындау іскерлігі енеді. Іскерлікті таңдау үшін мынадай тапсырмаларды орындау керек:

1) Есепті талқылаңдар және оның шарты мен қорытындысын

айырыңдар.

2) Есептің қысқаша моделін жазыңдар.

3) Есептің моделі бойынша оның математикалық моделін (теңдеуін) құрыңдар және т.с.с.

5) Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептер.

Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептерді шешу

есептің берілгендеріне талдау жасауды, мәліметтер мен шамаларды, бұрын өтілген есептермен салыстыруды, берілген жағдайдағы қасиеттерді анықтауды, қарапайым модельдерді құрастыру мен ойша экспериментті іске асыруды, синтездеуді, есеп шығаруға қажетті ақпаратты таңдауды, оны бір жүйеге келтіруді, зерттеуді талап етеді.

6. Өздігінен есеп құрастыру арқылы оқушылардың математикалық

ойлауын, шығармашылық қабілетін арттыруға болады.

6.3 Математикалық есептерді шеше білуге үйрету және одан әрі оған

дағдыландыру-мұғалімдер алдында тұрған негізгі, жауапты жұмыс. Әр

оқушының математикаға деген ұқыптылығы мен зейінділігін түрліше

есептерді шығару арқылы қалыптастыруға болады. Есепті шешуге үйрету

мен дағдыландыру көбіне сабақ өту кезінде болатындықтан, барлық

оқушыларды есеп шығарудың жалпы әдіс-тәсілдерімен қаруландыру керек.

Есеп шығаруға қойылытын негізгі талаптар

Есеп шғаруға төмендегідей талаптар қойылады:

А) Қатесіз шығару; ә) негіздеу (дәлелдеу); б) толық шығару; в) мүмкіндігінше тиімді жолмен шығару; г) есепті қаттау.

а) Есеп қатесіз шығарылу керек. Бұл негізгі талап. Оқушылар есеп шығару кезхінде алгоритмдік, логикалық, сызбалық, терминологиялық, шындықты бұрмалау сияқты қателер жіберуі мүмкін. Енді оқушылар жиі жіберетін қателіктерді көрсетелік.Есеп шығарудың практикалық мәні зор; оқушыларды тұрмыста жиі кездесетін есеп қисапты жасай алуға керекті біліммен қаруландырып, қажетті дағдыларды қалыптастырады. Сондықтан оларды келешекте өздігінен дұрыс шешім қабылдауға еңбек өнімділігін арттыратын әдіс тәсілдерді ізднп табдуға баулиды.

Функцияның туындысы. Біржақты туынды. Элементар функцияның туындылары.Функция дифференциалы. Функцияны дифференциалдаудың ережелері. Жоғары ретті туындылармен дифференциалдар.

1.Анықтама. Егер мына шек бар болса, онда оны функциясының нүктесіндегі туындысы деп атайды және оны

деп белгілейді.

Анықтама. f функциясы J аралығында анықталсын. Егер х₀ J үшін

нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын х₀ нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін f функциясының х₀ нүктесіндегі туындысы дейді де, f'(х₀) символымен белгілейді.

Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып былай жазуға болады:

1. 

2. 

3. 

Соңғы анықтамада немесе белгілеулері қолданылған.

Функцияның туындысын табу амалын дифференциалдау деп атайды.

2.Туындының геометриялық мағынасы

Анықтама. Егер берілген түзу ОХ өсімен қиылысатын болса, онда осы түзу мен абсцисса өсі арасындағы бұрыштардың кішісін ол түзу мен абсцисса өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш деп атайды.

аралығында анықталған функциясының графигінің бойында орналасқан нүктелерін қарастырайық.

М және Р нүктелері арқылы өтетін түзуді функциясы графигінің

нүктесіндегі қиюшысы деп атайды.

МР қиюшысы мен абсцисса өсі арасындағы бұрышты деп белгілейік. нүктесінен өтетін MS түзуі мен абсцисса өсі арасындағы бұрышты деп белгілейік.

Анықтама. Егер мына шарт орындалса, онда MS түзуі функциясы графигінің нүктесіндегі жанамасы деп аталады.

Теорема. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда, біріншіден, функциясы графигінің нүктесінен өтетін жанамасы болады; екіншіден, бұл жанаманың бұрыштық коэффициенті , мұндағы .

Туындының механикалық мағынасы

Егер функциясы материалдық нүктенің түзу бойымен қозғалу заңдылығын сипаттайтын болса, онда функция туындысы материалдық нүктенің уақыт мезгіліндегі лездік жылдамдығын анықтайды.

Дифференциалданатын функцияның үзіліссіздігі

Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол функция нүктесінде үзіліссіз.