2.Тұрақтыны вариациялау әдісі.

Жалпы жағдайда (1) теңдеудің жалпы шешімін (2) дифференциалдық теңдеудің шешімінен тұрақтыларды вариациялау әдісімен табуға болады. Әдістің мағынасын келтірейік.

Егер,

=c₁y₁ + c₂y₂ + … + c_ny_{n ,} (3)

мұндағы тұрақты сандар, (2) теңдеулердің жалпы шешімі болса, онда (1) теңдеудің жалпы шешімін

y=c₁(x)y₁ + c₂(x)y₂ + … + c_n(x)y_n (4)

түрде іздейміз. Белгісіз c₁(x) функцияларды

(4^/)

теңдеулер жүйесінен анықтайды да, оны (4)-ке қойып (1) теңдеудің жалпы шешімін табады.

3. Біртекті емес теңдеулерді белгісіз коэффиценттер әдісімен шешу.

Қайсыбір жағдайда (1) теңдеудің оң жағы белгілі бір түрде берілсе, оның дербес шешімін белгісіз коэффициенттер әдісімен табу ыңғайлы.

Енді осы жағдайларды қарастырамыз.

І. Айталық (1) теңдеудің оң жағы

ƒ(x)=P_n(x)e ^ax (5)

түрде берілсін, мұндағы P_n(x) n-ші дәрежелі көпмүше.

Бұл жерде төмендегі жағдайлар мүмкін.

а) α саны (2) теңдеудің сипаттаушы теңдеуінің түбірі болмайды, онда (1) біртекті емес теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінеді:

y*(x) = (A₁xⁿ + A₂x^n-1 + …+ A_n-1x+A_n)e ^ax = Q_n (x)e ^ax (6)

мұндағы А₁, А₂ ..., A_n белгісіз коэффициенттер. Бұларды анықтау үшін (6) өрнектің у*^/,у*^// ,…, у*⁽ⁿ⁾ тауып, оларды (1) теңдеуге қоямыз. Сонан соң е ^ах ≠ 0 қысқартып қалған өрнекте х-тің бірдей дәрежесінің алдындағы коэффициенттерді теңестіреді, нәтижесінде А₁,А_2,...,A_n белгісіз коэффициенттерге қарай n теңдеулер жүйесін аламыз. Осы жүйені шешіп анықталған коэффициенттерді (6)-ға қойып, (1) теңдеудің дербес шешімін аламыз.

б) Айталық α саны сипаттаушы теңдеудің еселігі s(s≥1) болатын түбірі болсын, онда (1) теңдеудің дербес шешімі:

(7)

түрде ізделінеді, көпмүшесінің коэффициенттері жоғарыдағы келтірілген белгісіз коэффициенттер әдісімен анықталады.

ІІ. (1) теңдеудің оң жағы мына түрде болсын

(8)

мұндағы P(x) және Q(x) көпмүшелер.

Төмендегі жағдайлар мүмкін:

а) (2) теңдеудің сипаттаушы теңдеуінің түбірлері болмайды, онда (1) теңдеудің дербес шешімі:

(9)

түрде ізделеді, мұндағы U(x) пен V(x) көпмүшелер дәрежелері P(x) пен Q(x) көпмүшелер дәрежесінің ең үлкеніне тең, ал коэффициенттері белгісіз, олар жоғарыдағы 1 пункте келтірілген әдіспен анықталады.

б) сипаттаушы теңдеудің еселігі болатын түбірлері болсын, онда дербес шешім:

(10)

түрінде ізделінеді. Мұндағы U(x) пен V(x) көпмүшелер коэффиценттері жоғарыдағыдай анықталады.

Ескеретін жағдай, (8) формуланың оң жағындағы P(x) пен Q(x) көпмүшелерінің біреуі нөлге тең болған жағдайда да (9),(10) формулалар сақталады.

3. (17)

Бұл теңдеудің дербес шешімін белгісіз коэффициенттер әдісімен табуға болмайды. Сондықтан (17) теңдеудің жалпы шешімін тұрақтыны вариациялау әдісімен анықтаймыз.

Берілген (17) теңдеуге сәйкес біртекті тендеудің жалпы шешімін табамыз

Онда,

Демек

(18)

Төмендегі теңдеулер жүйесін бойынша түземіз

Бұл жүйеден

Интеградап пен табамыз:

= , ,

Мұндағы кез-келген тұрақты сандар.

Осы пен мәндерін (18) ге қойып, берілген теңдеулердің жалпы шешімін аламыз.

1.Толық дифференциялдық теңдеулар.