3. Элементар матрицалар

Келесі квадрат матрицалар элементар деп аталады.

S_{ i} = – диагональдан тыс элементтер 0-ге тең, диагональдағы i-элемент λ  0 скалярына тең, диагональдағы қалған элементтер 1-ге тең. Осы матрица бірлік матрицаның i-жолын λ-ға көбейткенде шығады.

S_{i +  j} = – диагональ элементтер 1-ге тең, (i, j)-орнындағы элемент λ-ға тең, қалған элементтер 0-ге тең. Осы матрица бірлік матрицаның j-жолын λ-ға көбейтіп, i-жолына қосқанда шығады.

Теорема 2. Квадрат матрицаны сол жағынан элементар матрицаға көбейту матрицаның жолдарына элементар түрлендіру қолданғанымен пара-пар.

2.Кері матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып есептеу

Теорема 1. Квадрат матрицаны элементар түрлендірулер арқылы бірлік матрицаға келтіруге болғанда ғана, тек сонда ғана ол ерекше емес болады.

Теорема 2. Ерекше емес матрицаны элементар матрицалардың көбейтіндісі түрінде келтіріледі.

Матрицаның жолдық және бағандық рангтері

Кез келген А = матрицасының жолдарын F өрісіндегі n-өлшемді векторлар деп, ал бағандарын m-өлшемді векторлар деп қарауға болады. Сондықтан матрицаның жолдарына (бағандарына) n-өлшемді (m-өлшемді) векторларға қаралған үғымдар мен қасиеттерді қолдануға болады. Айталық, жолдардың сызықтық комбинациясы, жолдардың базисі, рангі т.б.

А матрицасының жолдық рангі деп оның сызықты тәуелсіз жолдарының саны аталады және r(A) деп белгіленеді, сызықты тәуелсіз бағандарының саны бағандық ранг деп аталады және ρ(А) деп белгіленеді.

Квадрат матрицаның анықтауышы

Анықтама. n-өлшемді квадрат А = (_ij) матрицасының анықтауышы немесе n-ретті анықтауыш деп A матрицасының әрбір жолынан және әрбір бағанынан бір-бірден алынған n элементтің көбейтінділерінің n! алгебралық қосындысы аталады, сонымен бірге қосындының әрбір көбейтіндісі sgn()sgn() таңбасымен алынады, мұндағы  – жолдардың нөмірлерінің алмастыруы,  – бағандардың нөмірлерінің алмастыруы.

A матрицасының анықтауышы | A | немесе деп белгіленеді. Анықтауышты белгілейтін тік жақшалар қолданылады, яғни дөңгелек, квадрат, фигуралық немесе басқа түрдегі жақшалар қолданылмайды.

Анықтауыштардың қасиеттері

A = (_ij) матрицасының бас диагоналі жолдың нөмірі бағанның нөміріне тең элементтерден тұрады; атап айтқанда _ii түрдегі элементтерден, i = 1,…, n.

Анықтама. Егер квадрат матрицаның бас диагональдан тыс элементтері нөл болса, онда ол диагональ матрица деп аталады,.

Мысалы, бірлік матрица диагональ матрица болады.

Анықтама. Егер квадрат матрицаның диагональдан төмен элементтері нөл болса, онда ол жоғарғы үшбұрышты матрица деп аталады. Осыған ұқсас, квадрат матрицаның диагональдан жоғарғы элементтері нөл болса, онда матрица төменгі үшбұрышты матрица деп аталады.

Айталық диагональ матрица үшбұрышты болады (төменгі де, жоғарғы да).

Теорема 1. (Анықтауыштардың қасиеттері).

1°. Нөлдік жолы бар анықтауыш нөлге тең.

2°. Диагональ матрицаның анықтауышы диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең.

3°. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең.

4°. Егер матрицаның жолдарын бағандарға алмастырса, онда матрицаның анықтауышы өзгермейді.