2. Матрицаларға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері

Екі матрицаны қосу және матрицаны скалярға көбейту амалдары орындалады. Енді осы амалдармен бірге матрицаларды көбейту амалы қаралады.

F өрісіндегі m  n-матрица берілсін

А = ,

мұндағы m – жолдардың, n – бағандардың саны.

Қысқаша матрица A = (_ij ) деп белгіленеді.

Егер m = n болса, А матрицасы n-ретті квадрат матрица деп аталады.

Егер бір матрицаның жолдарының саны және бағандарының саны сәйкесінше екінші матрицаның жолдарының санына және бағандарының санына тең болса, онда матрицалардың өлшемдігі тең деп есептеледі.

F өрісіндегі m  n-матрицалардың жиыны M_m,n(F) деп және n-ретті квадрат матрицалардың жиыны M_n(F) деп белгіленеді.

А матрицасының жолдары және бағандары

A_i = (_i1, _i2,…, _in) – i-жол; A^k = – k-баған,

деп белгіленеді.

Егер өлшемдігі тең A = (_ik) және B = (_ik) матрицаларына кез келген i және k индекстері үшін _ik = _ik болса, онда матрицалар тең деп есептеледі.

Өлшемдігі тең екі матрицаны қосу үшін сәйкес элементтерді қосу керек: (i, k)-орнындағы элемент _ik + _ik болады, яғни А + В = (_ik + _ik).

Барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады және  деп белгіленеді

Матрицаны λ скалярына көбейту үшін оның барлық элементтерін λ-ға көбейту керек: λА = (λ_ik).

Мысалы, 3 = .

Теорема 1. F өрісіндегі mn-матрицаларына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген A, B, C матрицаларына A + (B + C) = (A + B) + C – қосудың ассоциативтігі.

2. Барлық A матрицаларына A +  = A және  + A = A – нөлдік матрицаның қасиеті.

3. Кез келген A матрицасына A + B =  және B + A =  болатындай B матрицасы табылады – қарама-қарсы матрицаның табылатындығы.

4. Кез келген A, B матрицаларына A + B = B + A – қосудың коммутативтігі.

5. Кез келген A матрицасына 1A = A.

6. Кез келген A матрицасына және , . скалярларына ()A = (A).

7. Кез келген A, B матрицаларына және кез келген . скалярына (A + B) = A + B.

8. Кез келген A матрицасына және кез келген ,  скалярларына ( + )A = A + A.

Дәлелдеу. Әрбір А mn-матрицасын вектор ретінде қарауға болады. Ол үшін матрицаның элементтерін бір жолда жазуға болады: әуелі бірінші жолдың элементтері, одан кейін екінші жолдың элементтері және тағы сол сияқты:

А = (А₁,…, A_m) = (₁₁,…, _1n, ₂₁,…, _2n,…, _m1,…, _mn).

Бұл жағдайда mn-матрица mn-өлшемді вектор болады, матрицаларды қосу векторлардың қосуына, матрицаны скалярға көбейту векторды скалярға көбейтуге айналады. Сондықтан осы 8 қасиет арифметикалық векторлық кеңістіктің векторларына 1.1.1-теоремада дәлелденген қасиеттерден шығады (I тарау, 1-параграф, 1-теорема).

Осы қасиеттерді тікелей дәлелдесе көбі 1.1.1-теореманың дәледеуін қайталайды.

2. Матрицаларды көбейту

А = және В = матрицалары берілсін және А матрицасының бағандар саны В матрицасының жолдарының санына тең болсын.

А матрицасының А_i жолының B матрицасының B ^j бағанына көбейтіндісі:

A_i  B^j = (_i1, _i2,…, _in) = _i1_1j + _i2_2j +…+ _in_nj =

деп анықталады.

Басқа сөзбен айтқанда, А_i жолының элементтері B^j бағанының сәйкес элементтеріне көбейтіліп қосылады.

Айталық, (1, 2, 3, 4) = 15 + 26 + 37 + 48 = 70.

А матрицасының өлшемдігі mn және В матрицасының өлшемдігі nk болсын. Онда A матрицасының B матрицасына көбейтіндісінің (i, j)-орнындағы элемент A_iB^j болатын mk-матрица аталады, атап айтқанда,

AB = .

Матрицаларды көбейткенде өлшемдіктерді былай есептеуге болады: және

m	A		n	B	=	AB
	n			k		k

Одан әрі квадрат матрицаларды қараймыз.

Теорема 1. n-өлшемді квадрат матрицаларды көбейту операциясына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген А, В, С матрицаларына (АВ)С = А(ВС) – көбейтудің ассоциативтігі.

2. Кез келген А, В, С матрицаларына A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA – көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі.

3. Кез келген квадрат A матрицасына AE = EA = A, мұндағы E – n-өлшемді бірлік матрица.

4. Кез келген A, B матрицаларына және кез келген λ скалярына λ(AB) = (λA)B = A(λB)